Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elrtrclrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrtrclrec 37454
 Description: Membership in the indexed union of relation exponentiation over the natural numbers (including zero) is equivalent to the existence of at least one number such that the element is a member of that relationship power. (Contributed by RP, 2-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rtrclrec.def 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛))
Assertion
Ref Expression
elrtrclrec (𝑅𝑉 → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 ∈ (𝑅𝑟𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶   𝑅,𝑛,𝑟   𝑛,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑛,𝑟)   𝑋(𝑟)

Proof of Theorem elrtrclrec
StepHypRef Expression
1 nn0ex 11242 . 2 0 ∈ V
2 rtrclrec.def . . 3 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛))
32eliunov2 37452 . 2 ((𝑅𝑉 ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 ∈ (𝑅𝑟𝑛)))
41, 3mpan2 706 1 (𝑅𝑉 → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 ∈ (𝑅𝑟𝑛)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃wrex 2908  Vcvv 3186  ∪ ciun 4485   ↦ cmpt 4673  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℕ0cn0 11236  ↑𝑟crelexp 13694 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-nn 10965  df-n0 11237 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator