MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltg2 20686
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem eltg2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgval2 20684 . . 3 (𝐵𝑉 → (topGen‘𝐵) = {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))})
21eleq2d 2684 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))}))
3 elex 3201 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))} → 𝐴 ∈ V)
43adantl 482 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴 ∈ {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))}) → 𝐴 ∈ V)
5 uniexg 6915 . . . . . 6 (𝐵𝑉 𝐵 ∈ V)
6 ssexg 4769 . . . . . 6 ((𝐴 𝐵 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
75, 6sylan2 491 . . . . 5 ((𝐴 𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
87ancoms 469 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐴 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
98adantrr 752 . . 3 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))) → 𝐴 ∈ V)
10 sseq1 3610 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 𝐵𝐴 𝐵))
11 sseq2 3611 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → (𝑦𝑧𝑦𝐴))
1211anbi2d 739 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) ↔ (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
1312rexbidv 3046 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧) ↔ ∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
1413raleqbi1dv 3138 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
1510, 14anbi12d 746 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧)) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
1615elabg 3338 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))} ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
174, 9, 16pm5.21nd 940 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ {𝑧 ∣ (𝑧 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑧))} ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
182, 17bitrd 268 1 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3189  wss 3559   cuni 4407  cfv 5852  topGenctg 16030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fv 5860  df-topgen 16036
This theorem is referenced by:  eltg2b  20687  tg1  20692  tgcl  20697  elmopn  22170  psmetutop  22295
  Copyright terms: Public domain W3C validator