MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltop2 20690
Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
eltop2 (𝐽 ∈ Top → (𝐴𝐽 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐽,𝑦

Proof of Theorem eltop2
StepHypRef Expression
1 tgtop 20688 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
21eleq2d 2684 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ 𝐴𝐽))
3 eltg2b 20674 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
42, 3bitr3d 270 1 (𝐽 ∈ Top → (𝐴𝐽 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  wss 3555  cfv 5847  topGenctg 16019  Topctop 20617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-topgen 16025  df-top 20621
This theorem is referenced by:  isclo  20801  cncnp  20994  ist1-2  21061  hauscmp  21120  llycmpkgen2  21263  ptpjopn  21325  txkgen  21365  xkococn  21373  xkoinjcn  21400  fclscf  21739  subgntr  21820  opnsubg  21821  qustgpopn  21833  prdsxmslem2  22244  zdis  22527  efopn  24304  cvmopnlem  30968  neibastop3  31999  ioorrnopn  39832  ioorrnopnxr  39834
  Copyright terms: Public domain W3C validator