MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluz 11739
Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluz ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))

Proof of Theorem eluz
StepHypRef Expression
1 eluz1 11729 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))
21baibd 968 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  cle 10113  cz 11415  cuz 11725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-ov 6693  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726
This theorem is referenced by:  uzneg  11744  uztric  11747  uzwo3  11821  fzn  12395  fzsplit2  12404  fznn  12446  uzsplit  12450  elfz2nn0  12469  fzouzsplit  12542  faclbnd  13117  bcval5  13145  fz1isolem  13283  seqcoll  13286  rexuzre  14136  caurcvg  14451  caucvg  14453  summolem2a  14490  fsum0diaglem  14552  climcnds  14627  mertenslem1  14660  ntrivcvgmullem  14677  prodmolem2a  14708  ruclem10  15012  eulerthlem2  15534  pcpremul  15595  pcdvdsb  15620  pcadd  15640  pcfac  15650  pcbc  15651  prmunb  15665  prmreclem5  15671  vdwnnlem3  15748  lt6abl  18342  ovolunlem1a  23310  mbflimsup  23478  plyco0  23993  plyeq0lem  24011  aannenlem1  24128  aaliou3lem2  24143  aaliou3lem8  24145  chtublem  24981  bcmax  25048  bpos1lem  25052  bposlem1  25054  axlowdimlem16  25882  fzsplit3  29681  ballotlem2  30678  ballotlemimin  30695  breprexplemc  30838  elfzm12  31695  poimirlem3  33542  poimirlem4  33543  poimirlem28  33567  mblfinlem2  33577  incsequz  33674  incsequz2  33675  nacsfix  37592  ellz1  37647  eluzrabdioph  37687  monotuz  37823  expdiophlem1  37905  nznngen  38832  fzisoeu  39828  fmul01  40130  climsuselem1  40157  climsuse  40158  iblspltprt  40507  itgspltprt  40513  wallispilem5  40604  stirlinglem8  40616  dirkertrigeqlem1  40633  fourierdlem12  40654  ssfz12  41649
  Copyright terms: Public domain W3C validator