MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluz 11533
Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluz ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))

Proof of Theorem eluz
StepHypRef Expression
1 eluz1 11523 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))
21baibd 945 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5790  cle 9931  cz 11210  cuz 11519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fv 5798  df-ov 6530  df-neg 10120  df-z 11211  df-uz 11520
This theorem is referenced by:  uzneg  11538  uztric  11541  uzwo3  11615  fzn  12183  fzsplit2  12192  fznn  12233  uzsplit  12236  elfz2nn0  12255  fzouzsplit  12327  faclbnd  12894  bcval5  12922  fz1isolem  13054  seqcoll  13057  rexuzre  13886  caurcvg  14201  caucvg  14203  summolem2a  14239  fsum0diaglem  14296  climcnds  14368  mertenslem1  14401  ntrivcvgmullem  14418  prodmolem2a  14449  ruclem10  14753  eulerthlem2  15271  pcpremul  15332  pcdvdsb  15357  pcadd  15377  pcfac  15387  pcbc  15388  prmunb  15402  prmreclem5  15408  vdwnnlem3  15485  lt6abl  18065  ovolunlem1a  22988  mbflimsup  23156  plyco0  23669  plyeq0lem  23687  aannenlem1  23804  aaliou3lem2  23819  aaliou3lem8  23821  chtublem  24653  bcmax  24720  bpos1lem  24724  bposlem1  24726  axlowdimlem16  25555  extwwlkfablem2  26371  fzsplit3  28746  ballotlem2  29683  ballotlemimin  29700  elfzm12  30629  poimirlem3  32378  poimirlem4  32379  poimirlem28  32403  mblfinlem2  32413  incsequz  32510  incsequz2  32511  nacsfix  36089  ellz1  36144  eluzrabdioph  36184  monotuz  36320  expdiophlem1  36402  nznngen  37333  fzisoeu  38251  fmul01  38444  climsuselem1  38471  climsuse  38472  iblspltprt  38662  itgspltprt  38668  wallispilem5  38759  stirlinglem8  38771  dirkertrigeqlem1  38788  fourierdlem12  38809  ssfz12  40171
  Copyright terms: Public domain W3C validator