MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluz1 11676
Description: Membership in the upper set of integers starting at 𝑀. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluz1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))

Proof of Theorem eluz1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzval 11674 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘})
21eleq2d 2685 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘}))
3 breq2 4648 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → (𝑀𝑘𝑀𝑁))
43elrab 3357 . 2 (𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
52, 4syl6bb 276 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1988  {crab 2913   class class class wbr 4644  cfv 5876  cle 10060  cz 11362  cuz 11672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pr 4897  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fv 5884  df-ov 6638  df-neg 10254  df-z 11363  df-uz 11673
This theorem is referenced by:  eluz2  11678  eluz1i  11680  eluz  11686  uzid  11687  uzss  11693  eluzp1m1  11696  raluz  11721  rexuz  11723  preduz  12445  fi1uzind  13262  fi1uzindOLD  13268  algcvga  15273  uzssico  29520  nndiffz1  29522  fzspl  29524  breprexplemc  30684  lzunuz  37150
  Copyright terms: Public domain W3C validator