MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluz1 12235
Description: Membership in the upper set of integers starting at 𝑀. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluz1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))

Proof of Theorem eluz1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzval 12233 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘})
21eleq2d 2895 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘}))
3 breq2 5061 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → (𝑀𝑘𝑀𝑁))
43elrab 3677 . 2 (𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
52, 4syl6bb 288 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2105  {crab 3139   class class class wbr 5057  cfv 6348  cle 10664  cz 11969  cuz 12231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-ov 7148  df-neg 10861  df-z 11970  df-uz 12232
This theorem is referenced by:  eluz2  12237  eluz1i  12239  eluz  12245  uzid  12246  uzss  12253  eluzp1m1  12256  raluz  12284  rexuz  12286  preduz  13017  fi1uzind  13843  algcvga  15911  uzssico  30433  nndiffz1  30435  fzspl  30439  cycpmco2lem6  30700  cycpmconjslem2  30724  breprexplemc  31802  lzunuz  39243
  Copyright terms: Public domain W3C validator