MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluz1i 12239
Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
eluz.1 𝑀 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
eluz1i (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))

Proof of Theorem eluz1i
StepHypRef Expression
1 eluz.1 . 2 𝑀 ∈ ℤ
2 eluz1 12235 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))
31, 2ax-mp 5 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  cle 10664  cz 11969  cuz 12231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-ov 7148  df-neg 10861  df-z 11970  df-uz 12232
This theorem is referenced by:  eluzaddi  12259  eluzsubi  12260  eluz2b1  12307  fz0to4untppr  12998  faclbnd4lem1  13641  climcndslem1  15192  ef01bndlem  15525  sin01bnd  15526  cos01bnd  15527  sin01gt0  15531  dvradcnv  24936  bposlem3  25789  bposlem4  25790  bposlem5  25791  bposlem9  25795  istrkg3ld  26174  axlowdimlem16  26670  ballotlem2  31645  nn0prpwlem  33567  jm2.20nn  39472  stoweidlem17  42179  wallispilem4  42230  nn0o1gt2ALTV  43736
  Copyright terms: Public domain W3C validator