MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluz1i 11655
Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
eluz.1 𝑀 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
eluz1i (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))

Proof of Theorem eluz1i
StepHypRef Expression
1 eluz.1 . 2 𝑀 ∈ ℤ
2 eluz1 11651 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))
31, 2ax-mp 5 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384  wcel 1987   class class class wbr 4623  cfv 5857  cle 10035  cz 11337  cuz 11647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fv 5865  df-ov 6618  df-neg 10229  df-z 11338  df-uz 11648
This theorem is referenced by:  eluzaddi  11674  eluzsubi  11675  eluz2b1  11719  fz0to4untppr  12399  faclbnd4lem1  13036  climcndslem1  14525  ef01bndlem  14858  sin01bnd  14859  cos01bnd  14860  sin01gt0  14864  dvradcnv  24113  bposlem3  24945  bposlem4  24946  bposlem5  24947  bposlem9  24951  istrkg3ld  25294  axlowdimlem16  25771  ballotlem2  30373  nn0prpwlem  32012  jm2.20nn  37083  stoweidlem17  39571  wallispilem4  39622  nn0o1gt2ALTV  40934
  Copyright terms: Public domain W3C validator