MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz2b2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluz2b2 11799
Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2." (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
eluz2b2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))

Proof of Theorem eluz2b2
StepHypRef Expression
1 eluz2b1 11797 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
2 1re 10077 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
3 zre 11419 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4 ltle 10164 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (1 < 𝑁 → 1 ≤ 𝑁))
52, 3, 4sylancr 696 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝑁 → 1 ≤ 𝑁))
65imdistani 726 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))
7 elnnz1 11441 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))
86, 7sylibr 224 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
9 simpr 476 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → 1 < 𝑁)
108, 9jca 553 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
11 nnz 11437 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
1211anim1i 591 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
1310, 12impbii 199 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
141, 13bitri 264 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  cr 9973  1c1 9975   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  2c2 11108  cz 11415  cuz 11725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726
This theorem is referenced by:  eluz2b3  11800  prmind2  15445  nprm  15448  nprmi  15449  isprm5  15466  phibndlem  15522  pclem  15590  pcpre1  15594  pockthlem  15656  prmunb  15665  prmreclem1  15667  prmlem1a  15860  odcau  18065  sylow3lem6  18093  gexexlem  18301  wilthlem1  24839  wilth  24842  chtge0  24883  isppw  24885  muval1  24904  chtwordi  24927  vma1  24937  fsumvma2  24984  chpval2  24988  chpchtsum  24989  chpub  24990  mersenne  24997  perfect1  24998  perfectlem2  25000  lgsne0  25105  2sqblem  25201  chtppilimlem1  25207  rplogsumlem2  25219  rpvmasumlem  25221  dchrisum0flblem2  25243  padicabvcxp  25366  ostth2lem3  25369  ostth2lem4  25370  ostth2  25371  ostth3  25372  umgr2cwwkdifex  27029  ex-mod  27436  rmspecsqrtnqOLD  37788  rmspecnonsq  37789  rmspecfund  37791  ltrmxnn0  37833  itgsinexp  40488  wallispilem3  40602  fmtno4prm  41812  perfectALTVlem2  41956
  Copyright terms: Public domain W3C validator