Theorem eluz2nn 12287

Description: An integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12015	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		1le2 11849	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		eluzuzle 12255	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnuz 12284	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtrrdi 2926	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  1c1 10540   ≤ cle 10678  ℕcn 11640  2c2 11695  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-z 11985  df-uz 12247

This theorem is referenced by:  eluz4nn  12289  eluzge2nn0  12290  eluz2n0  12291  zgt1rpn0n1  12433  mulp1mod1  13283  expnngt1b  13606  relexpaddg  14414  modm1div  15621  ncoprmgcdne1b  15996  isprm3  16029  prmind2  16031  nprm  16034  exprmfct  16050  prmdvdsfz  16051  isprm5  16053  maxprmfct  16055  isprm6  16060  phibndlem  16109  phibnd  16110  dfphi2  16113  pclem  16177  pcprendvds2  16180  pcpre1  16181  dvdsprmpweqnn  16223  expnprm  16240  prmreclem1  16254  4sqlem15  16297  4sqlem16  16298  vdwlem5  16323  vdwlem6  16324  vdwlem8  16326  vdwlem9  16327  vdwlem11  16329  prmgaplem1  16387  prmgaplem2  16388  prmgaplcmlem2  16390  prmgapprmolem  16399  ovolicc1  24119  logbgcd1irr  25374  wilth  25650  wilthimp  25651  mersenne  25805  bposlem3  25864  lgsquad2lem2  25963  2sqlem6  26001  rplogsumlem1  26062  rplogsumlem2  26063  dchrisum0flblem2  26087  ostthlem2  26206  ostth2lem2  26212  axlowdimlem5  26734  clwwisshclwwslemlem  27793  dlwwlknondlwlknonf1olem1  28145  dlwwlknondlwlknonf1o  28146  signstfveq0  31849  subfacval3  32438  rtprmirr  39201  rmspecsqrtnq  39510  rmxypos  39551  ltrmynn0  39552  jm2.17a  39564  jm2.17b  39565  jm2.17c  39566  jm2.27c  39611  jm3.1lem1  39621  jm3.1lem2  39622  jm3.1lem3  39623  relexpaddss  40070  wallispilem3  42359  fmtnonn  43700  fmtnorec3  43717  fmtnorec4  43718  fmtnoprmfac2lem1  43735  fmtnoprmfac2  43736  prmdvdsfmtnof1lem1  43753  prmdvdsfmtnof  43755  lighneallem4a  43780  lighneallem4b  43781  fpprel2  43913  wtgoldbnnsum4prm  43974  bgoldbnnsum3prm  43976  cznnring  44234  expnegico01  44580  fllogbd  44627  logbge0b  44630  logblt1b  44631  nnolog2flm1  44657  blennngt2o2  44659  blengt1fldiv2p1  44660  dignn0ldlem  44669  dignnld  44670  digexp  44674  dig1  44675