MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz2nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluz2nn 11686
Description: An integer is greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluz2nn (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn
StepHypRef Expression
1 1z 11367 . . 3 1 ∈ ℤ
2 1le2 11201 . . 3 1 ≤ 2
3 eluzuzle 11656 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ‘1)))
41, 2, 3mp2an 707 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
5 nnuz 11683 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5syl6eleqr 2709 1 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987   class class class wbr 4623  cfv 5857  1c1 9897  cle 10035  cn 10980  2c2 11030  cz 11337  cuz 11647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-z 11338  df-uz 11648
This theorem is referenced by:  eluzge2nn0  11687  eluz2n0  11688  zgt1rpn0n1  11831  mulp1mod1  12667  relexpaddg  13743  ncoprmgcdne1b  15306  isprm3  15339  prmind2  15341  nprm  15344  exprmfct  15359  prmdvdsfz  15360  isprm5  15362  maxprmfct  15364  isprm6  15369  phibndlem  15418  phibnd  15419  dfphi2  15422  pclem  15486  pcprendvds2  15489  pcpre1  15490  dvdsprmpweqnn  15532  expnprm  15549  prmreclem1  15563  4sqlem15  15606  4sqlem16  15607  vdwlem5  15632  vdwlem6  15633  vdwlem8  15635  vdwlem9  15636  vdwlem11  15638  prmgaplem1  15696  prmgaplem2  15697  prmgaplcmlem2  15699  prmgapprmolem  15708  ovolicc1  23224  wilth  24731  wilthimp  24732  mersenne  24886  bposlem3  24945  lgsquad2lem2  25044  2sqlem6  25082  rplogsumlem1  25107  rplogsumlem2  25108  dchrisum0flblem2  25132  ostthlem2  25251  ostth2lem2  25257  axlowdimlem5  25760  clwwisshclwwslemlem  26826  numclwwlk3lem  27130  signstfveq0  30476  subfacval3  30932  rmspecsqrtnq  36989  rmspecsqrtnqOLD  36990  rmxypos  37033  ltrmynn0  37034  jm2.17a  37046  jm2.17b  37047  jm2.17c  37048  jm2.27c  37093  jm3.1lem1  37103  jm3.1lem2  37104  jm3.1lem3  37105  relexpaddss  37530  wallispilem3  39621  fmtnonn  40772  fmtnorec3  40789  fmtnorec4  40790  fmtnoprmfac2lem1  40807  fmtnoprmfac2  40808  prmdvdsfmtnof1lem1  40825  prmdvdsfmtnof  40827  lighneallem4a  40854  lighneallem4b  40855  wtgoldbnnsum4prm  41009  bgoldbnnsum3prm  41011  cznnring  41274  expnegico01  41626  fllogbd  41676  logbge0b  41679  logblt1b  41680  nnolog2flm1  41706  blennngt2o2  41708  blengt1fldiv2p1  41709  dignn0ldlem  41718  dignnld  41719  digexp  41723  dig1  41724
  Copyright terms: Public domain W3C validator