MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzadd 11908
Description: Membership in a later upper set of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
eluzadd ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))

Proof of Theorem eluzadd
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11884 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ𝑀) = (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
32eleq2d 2825 . . . . . 6 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
4 oveq1 6820 . . . . . . . 8 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑀 + 𝐾) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾))
54fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) = (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)))
65eleq2d 2825 . . . . . 6 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾))))
73, 6imbi12d 333 . . . . 5 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)))))
8 oveq2 6821 . . . . . . 7 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝑁 + 𝐾) = (𝑁 + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))
9 oveq2 6821 . . . . . . . 8 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))
109fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) = (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))))
118, 10eleq12d 2833 . . . . . 6 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) ↔ (𝑁 + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))))
1211imbi2d 329 . . . . 5 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (𝑁 + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))))))
13 0z 11580 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
1413elimel 4294 . . . . . 6 if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
1513elimel 4294 . . . . . 6 if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ∈ ℤ
1614, 15eluzaddi 11906 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (𝑁 + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))))
177, 12, 16dedth2h 4284 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))))
1817com12 32 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))))
191, 18mpand 713 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))))
2019imp 444 1 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  ifcif 4230  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128   + caddc 10131  cz 11569  cuz 11879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880
This theorem is referenced by:  seqshft2  13021  shftuz  14008  isumshft  14770  vdwlem2  15888  vdwlem8  15894  mulgnndir  17770  mulgnndirOLD  17771  efgcpbllemb  18368  plymullem1  24169  coeeulem  24179  ulmshftlem  24342  ulmshft  24343  fsum2dsub  30994  caushft  33870
  Copyright terms: Public domain W3C validator