Theorem eluzelz 6363

Description: Implication of membership in a set of upper integers.

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	⊢ (N ∈ (ℤ≥ ‘M) → N ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2t 6361	. 2 ⊢ (N ∈ (ℤ≥ ‘M) ↔ (M ∈ ℤ ⋀ N ∈ ℤ ⋀ M ≤ N))
2		3simp2 788	. 2 ⊢ ((M ∈ ℤ ⋀ N ∈ ℤ ⋀ M ≤ N) → N ∈ ℤ)
3	1, 2	sylbi 199	1 ⊢ (N ∈ (ℤ≥ ‘M) → N ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ w3a 774   ∈ wcel 956   class class class wbr 2614   ‘cfv 3177   ≤ cle 5275  ℤcz 5278  ℤ_≥cuz 6357

This theorem is referenced by:  eluzt 6366  uztrn 6368  uznegit 6369  uzss 6371  eluzp1lt 6374  eluzaddi 6376  eluzsubi 6377  peano2uzr 6388  uzaddclt 6389  uzind4 6390  uzwo 6395  uzwoOLD 6396  elfz5t 6414  eluzfzt 6417  eluzfz2t 6429  fzoptht 6442  fzss1t 6443  fzss2t 6444  elfzp1 6450  fzneuzt 6458  fsequb 6463  seqzp1 6488  seqzfveq 6494  cvg1i 6865  cvg1 6866  sumeq2 6931  dffsum 6944  fsump1 6952  fsump1s 6959  fsumcllem 6960  fsum1ps 6964  fsumsplit 6966  fsumadd 6968  fsumcom 6974  fsumrev 6975  fsumrev2 6976  fsumshft 6977  fsumshftm 6978  fsummulc1 6979  fsumconst 6984  fsum0 6985  fsumcmp 6986  fsumcmpndx2 6988  fsumabs 6989  serz1p 6998  climshft2 7051  iserzshft2 7052  climrecl 7055  climge0 7057  climaddlem3 7060  climaddc1 7062  climmullem8 7071  climmulc2 7073  climsubc2 7075  clim2serzt 7078  clim2serz 7089  climserzle 7091  serzf0 7113  isumshft 7147  isumshft2 7148  iserzgt0 7154  fsum0diaglem2 7200  lmle 7911

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-enr 5146  df-nr 5147  df-0r 5151  df-c 5220  df-r 5224  df-neg 5338  df-z 6091  df-uz 6358

Copyright terms: Public domain