Theorem eluzfz1 12917

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12251	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12261	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 12906	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 686	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-pre-lttri 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-neg 10876  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896

This theorem is referenced by:  elfz3  12920  fzn0  12924  fzopth  12947  seqcl  13393  seqfveq  13397  seqshft2  13399  monoord  13403  monoord2  13404  seqcaopr3  13408  seqf1olem2a  13411  seqf1olem2  13413  seqhomo  13420  seqcoll  13825  fsum1p  15111  telfsumo  15160  telfsumo2  15161  fsumparts  15164  mertenslem2  15244  prodfn0  15253  prodfrec  15254  fprod1p  15325  phicl2  16108  eulerthlem2  16122  4sqlem19  16302  vdwlem1  16320  vdwlem6  16325  vdw  16333  fvprmselelfz  16383  prmodvdslcmf  16386  gsumval2  17899  gsumsplit1r  17900  efgsdmi  18861  gsumval3  19030  telgsumfzslem  19111  telgsumfzs  19112  pmatcollpw3fi1lem1  21397  chfacfisf  21465  chfacfisfcpmat  21466  cpmadugsumlemF  21487  imasdsf1olem  22986  ovoliunlem1  24106  mbfi1fseqlem3  24321  cxpeq  25341  ppiltx  25757  logexprlim  25804  dchrmusum2  26073  dchrvmasum2lem  26075  mudivsum  26109  mulogsum  26111  mulog2sumlem2  26114  axlowdimlem13  26743  axlowdim1  26748  axlowdim  26750  crctcshwlkn0lem6  27596  fzto1stfv1  30747  fzto1stinvn  30750  cycpmco2f1  30770  lmatfval  31083  lmat22e11  31087  ballotlem4  31760  ballotlemic  31768  ballotlem1c  31769  ballotlem1ri  31796  subfacp1lem1  32430  subfacp1lem5  32435  subfacp1lem6  32436  cvmliftlem10  32545  cvmliftlem13  32547  inffz  32965  fwddifnp1  33630  poimirlem6  34902  poimirlem7  34903  poimirlem16  34912  poimirlem17  34913  poimirlem19  34915  poimirlem28  34924  fdc  35024  mettrifi  35036  monoordxrv  41764  monoord2xrv  41766  fmul01lt1lem1  41871  dvnmptdivc  42229  dvnmul  42234  itgspltprt  42270  stoweidlem17  42309  stoweidlem20  42312  stoweidlem34  42326  fourierdlem15  42414  fourierdlem48  42446  fourierdlem50  42448  fourierdlem52  42450  fourierdlem54  42452  fourierdlem64  42462  fourierdlem81  42479  fourierdlem102  42500  fourierdlem103  42501  fourierdlem104  42502  fourierdlem111  42509  fourierdlem114  42512  etransclem10  42536  etransclem14  42540  etransclem15  42541  etransclem24  42550  etransclem35  42561  etransclem44  42570  smfmullem4  43076  ssfz12  43521  smonoord  43538