MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzfz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzfz2 12288
Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
eluzfz2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11641 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 uzid 11646 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
4 eluzfz 12276 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
53, 4mpdan 701 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1992  cfv 5850  (class class class)co 6605  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-pre-lttri 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-neg 10214  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266
This theorem is referenced by:  eluzfz2b  12289  elfzubelfz  12292  fzopth  12317  fzsuc  12327  fseq1p1m1  12352  fzm1  12358  fzneuz  12359  fzoend  12497  uzindi  12718  seqcl2  12756  seqfveq2  12760  seqshft2  12764  monoord  12768  monoord2  12769  seqsplit  12771  seqcaopr3  12773  seqf1olem2a  12776  seqf1olem1  12777  seqf1olem2  12778  seqid2  12784  seqhomo  12785  seqcoll  13183  seqcoll2  13184  wrdeqs1cat  13407  swrdccatin12lem2  13421  swrdccatin12lem3  13422  swrdccatin12  13423  splid  13436  spllen  13437  splval2  13440  summolem2a  14374  fsumm1  14405  telfsumo  14456  telfsumo2  14457  fsumparts  14460  prodfn0  14546  prodfrec  14547  prodmolem2a  14584  fprodm1  14617  sadadd  15108  sadass  15112  smuval2  15123  vdwlem6  15609  efgredleme  18072  efgredlemc  18074  efgcpbllemb  18084  frgpuplem  18101  telgsumfzslem  18301  telgsumfzs  18302  pmatcollpw3fi1lem1  20505  chfacfisf  20573  chfacfisfcpmat  20574  iscmet3lem1  22992  iscmet3lem2  22993  voliunlem1  23220  volsup  23226  mbfi1fseqlem3  23385  wilthlem2  24690  wilthlem3  24691  chtub  24832  dchrisum0flb  25094  pntpbnd1  25170  pntlemf  25189  spthonepeq  26511  wwlksnext  26651  submatres  29646  madjusmdetlem1  29667  madjusmdetlem2  29668  madjusmdetlem3  29669  madjusmdetlem4  29670  ballotlemfc0  30327  ballotlemfcc  30328  ballotlemfrci  30362  gsumnunsn  30388  wrdsplex  30390  cvmliftlem10  30976  supfz  31313  fwddifnp1  31906  poimirlem3  33030  poimirlem4  33031  poimirlem16  33043  poimirlem19  33046  poimirlem20  33047  poimirlem23  33050  poimirlem31  33058  volsupnfl  33072  sdclem2  33156  fdc  33159  mettrifi  33171  iunincfi  38743  fmul01lt1lem2  39208  limsupubuzlem  39335  dvnmul  39451  dvnprodlem3  39456  stoweidlem3  39514  stoweidlem11  39522  stoweidlem17  39528  stoweidlem34  39545  fourierdlem15  39633  fourierdlem25  39643  fourierdlem50  39667  fourierdlem52  39669  fourierdlem54  39671  fourierdlem65  39682  fourierdlem81  39698  fourierdlem92  39709  fourierdlem102  39719  fourierdlem111  39728  fourierdlem113  39730  fourierdlem114  39731  etransclem35  39780  sge0p1  39925  carageniuncllem1  40029  caratheodorylem1  40034  smfmullem4  40295  ssfz12  40609  elfzlble  40615  smonoord  40627  pfxccatin12lem2  40711  pfxccatin12  40712
  Copyright terms: Public domain W3C validator