Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eluzge0nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzge0nn0 40280
Description: If an integer is greater than or equal to a nonnegative integer, then it is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluzge0nn0 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (0 ≤ 𝑀𝑁 ∈ ℕ0))

Proof of Theorem eluzge0nn0
StepHypRef Expression
1 eluz2 11433 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
2 simpl2 1057 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 zre 11122 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
4 zre 11122 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5 0red 9796 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
6 simpl 471 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
7 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
85, 6, 73jca 1234 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
93, 4, 8syl2an 492 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
10 letr 9881 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
1211expcomd 452 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 → (0 ≤ 𝑀 → 0 ≤ 𝑁)))
1312ex 448 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝑁 → (0 ≤ 𝑀 → 0 ≤ 𝑁))))
14133imp1 1271 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) ∧ 0 ≤ 𝑀) → 0 ≤ 𝑁)
15 elnn0z 11131 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
162, 14, 15sylanbrc 694 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1716ex 448 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (0 ≤ 𝑀𝑁 ∈ ℕ0))
181, 17sylbi 205 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (0 ≤ 𝑀𝑁 ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030  wcel 1938   class class class wbr 4481  cfv 5689  cr 9690  0cc0 9691  cle 9830  0cn0 11047  cz 11118  cuz 11427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator