MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzp1p1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzp1p1 11545
Description: Membership in the next upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzp1p1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))

Proof of Theorem eluzp1p1
StepHypRef Expression
1 peano2z 11251 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
213ad2ant1 1074 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
3 peano2z 11251 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
433ad2ant2 1075 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
5 zre 11214 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
6 zre 11214 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
7 1re 9895 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
8 leadd1 10345 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
97, 8mp3an3 1404 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
105, 6, 9syl2an 492 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
1110biimp3a 1423 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1))
122, 4, 113jca 1234 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
13 eluz2 11525 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
14 eluz2 11525 . 2 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
1512, 13, 143imtr4i 279 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  w3a 1030  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  1c1 9793   + caddc 9795  cle 9931  cz 11210  cuz 11519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520
This theorem is referenced by:  uzp1  11553  fzp1elp1  12219  seqcl2  12636  seqfveq2  12640  seqf1olem2  12658  seqid2  12664  seqcoll  13057  serf0  14205  efcllem  14593  prmind2  15182  pockthlem  15393  pockthg  15394  prmunb  15402  prmreclem4  15407  dvradcnv  23896  rplogsumlem1  24890  rplogsumlem2  24891  dchrisumlem2  24896  dchrisum0flb  24916  pntlemq  25007  pntlemr  25008  pntlemf  25011  axlowdimlem17  25556  fibp1  29596  subfacp1lem5  30226  poimirlem1  32376  poimirlem3  32378  poimirlem4  32379  poimirlem15  32390  poimirlem16  32391  poimirlem17  32392  poimirlem19  32394  poimirlem20  32395  poimirlem23  32398  fdc  32507  mettrifi  32519  expdiophlem1  36402  trclfvdecomr  36835
  Copyright terms: Public domain W3C validator