MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzuzle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzuzle 11640
Description: An integer in an upper set of integers is an element of an upper set of integers with a smaller bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluzuzle ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))

Proof of Theorem eluzuzle
StepHypRef Expression
1 eluz2 11637 . 2 (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))
2 simpll 789 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 simpr2 1066 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
4 zre 11325 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
54ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 zre 11325 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
763ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
87adantl 482 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 zre 11325 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
1093ad2ant2 1081 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
1110adantl 482 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
12 simplr 791 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵𝐴)
13 simpr3 1067 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐴𝐶)
145, 8, 11, 12, 13letrd 10138 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵𝐶)
15 eluz2 11637 . . . 4 (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐶))
162, 3, 14, 15syl3anbrc 1244 . . 3 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵))
1716ex 450 . 2 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))
181, 17syl5bi 232 1 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036  wcel 1987   class class class wbr 4613  cfv 5847  cr 9879  cle 10019  cz 11321  cuz 11631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-neg 10213  df-z 11322  df-uz 11632
This theorem is referenced by:  eluz2nn  11670  uzuzle23  11673  eluzge3nn  11674  setsstruct  15819  wwlksubclwwlks  26791  smonoord  40636  wtgoldbnnsum4prm  40976  bgoldbnnsum3prm  40978
  Copyright terms: Public domain W3C validator