MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzuzle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzuzle 12240
Description: An integer in an upper set of integers is an element of an upper set of integers with a smaller bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluzuzle ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))

Proof of Theorem eluzuzle
StepHypRef Expression
1 eluz2 12237 . 2 (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))
2 simpll 763 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 simpr2 1187 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
4 zre 11973 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
54ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 zre 11973 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
763ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
87adantl 482 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 zre 11973 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
1093ad2ant2 1126 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
1110adantl 482 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
12 simplr 765 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵𝐴)
13 simpr3 1188 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐴𝐶)
145, 8, 11, 12, 13letrd 10785 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵𝐶)
15 eluz2 12237 . . . 4 (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐶))
162, 3, 14, 15syl3anbrc 1335 . . 3 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵))
1716ex 413 . 2 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))
181, 17syl5bi 243 1 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  cr 10524  cle 10664  cz 11969  cuz 12231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-neg 10861  df-z 11970  df-uz 12232
This theorem is referenced by:  eluz2nn  12272  eluz4eluz2  12273  uzuzle23  12277  eluzge3nn  12278  setsstruct  16511  wwlksubclwwlk  27764  smonoord  43408  wtgoldbnnsum4prm  43844  bgoldbnnsum3prm  43846
  Copyright terms: Public domain W3C validator