Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elwwlks2s3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elwwlks2s3 26744
 Description: A walk of length 2 between two vertices as length 3 string is a length 3 string. (Contributed by AV, 18-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
elwwlks2s3.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
elwwlks2s3 (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem elwwlks2s3
StepHypRef Expression
1 wwlknbp2 26638 . 2 (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (2 + 1)))
2 elwwlks2s3.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32wrdeqi 13275 . . . . 5 Word 𝑉 = Word (Vtx‘𝐺)
43eleq2i 2690 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5 df-3 11032 . . . . 5 3 = (2 + 1)
65eqeq2i 2633 . . . 4 ((#‘𝑊) = 3 ↔ (#‘𝑊) = (2 + 1))
74, 6anbi12i 732 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 3) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (2 + 1)))
8 wrdl3s3 13647 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 3) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
97, 8sylbb1 227 . 2 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (2 + 1)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
101, 9syl 17 1 (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃wrex 2908  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  1c1 9889   + caddc 9891  2c2 11022  3c3 11023  #chash 13065  Word cword 13238  ⟨“cs3 13532  Vtxcvtx 25791   WWalksN cwwlksn 26604 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246  df-concat 13248  df-s1 13249  df-s2 13538  df-s3 13539  df-wwlks 26608  df-wwlksn 26609 This theorem is referenced by:  fusgreg2wsp  27075
 Copyright terms: Public domain W3C validator