MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  embedsetcestrclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem embedsetcestrclem 16729
Description: Lemma for embedsetcestrc 16739. (Contributed by AV, 31-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrclem3.e 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
funcsetcestrclem3.b 𝐵 = (Base‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
embedsetcestrclem (𝜑𝐹:𝐶1-1𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem embedsetcestrclem
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funcsetcestrc.s . . 3 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2 funcsetcestrc.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑆)
3 funcsetcestrc.f . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
4 funcsetcestrc.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
5 funcsetcestrc.o . . 3 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6 funcsetcestrclem3.e . . 3 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
7 funcsetcestrclem3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐸)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7funcsetcestrclem3 16728 . 2 (𝜑𝐹:𝐶𝐵)
91, 2, 3funcsetcestrclem1 16726 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐶) → (𝐹𝑦) = {⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩})
109adantrr 752 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → (𝐹𝑦) = {⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩})
111, 2, 3funcsetcestrclem1 16726 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐶) → (𝐹𝑧) = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩})
1211adantrl 751 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → (𝐹𝑧) = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩})
1310, 12eqeq12d 2636 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ {⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩}))
14 opex 4898 . . . . . 6 ⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ ∈ V
15 sneqbg 4347 . . . . . 6 (⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ ∈ V → ({⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩} ↔ ⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩))
1614, 15mp1i 13 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → ({⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩} ↔ ⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩))
17 fvex 6163 . . . . . . . 8 (Base‘ndx) ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ V)
19 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝑦𝐶𝑧𝐶) → 𝑦𝐶)
20 opthg 4911 . . . . . . 7 (((Base‘ndx) ∈ V ∧ 𝑦𝐶) → (⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩ ↔ ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
2118, 19, 20syl2an 494 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → (⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩ ↔ ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
22 simpr 477 . . . . . 6 (((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
2321, 22syl6bi 243 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → (⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩ → 𝑦 = 𝑧))
2416, 23sylbid 230 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → ({⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩} → 𝑦 = 𝑧))
2513, 24sylbid 230 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐶)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
2625ralrimivva 2966 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐶𝑧𝐶 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
27 dff13 6472 . 2 (𝐹:𝐶1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐶𝐵 ∧ ∀𝑦𝐶𝑧𝐶 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
288, 26, 27sylanbrc 697 1 (𝜑𝐹:𝐶1-1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3189  {csn 4153  cop 4159  cmpt 4678  wf 5848  1-1wf1 5849  cfv 5852  ωcom 7019  WUnicwun 9474  ndxcnx 15789  Basecbs 15792  SetCatcsetc 16657  ExtStrCatcestrc 16694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-er 7694  df-ec 7696  df-qs 7700  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-wun 9476  df-ni 9646  df-pli 9647  df-mi 9648  df-lti 9649  df-plpq 9682  df-mpq 9683  df-ltpq 9684  df-enq 9685  df-nq 9686  df-erq 9687  df-plq 9688  df-mq 9689  df-1nq 9690  df-rq 9691  df-ltnq 9692  df-np 9755  df-plp 9757  df-ltp 9759  df-enr 9829  df-nr 9830  df-c 9894  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-fz 12277  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-hom 15898  df-cco 15899  df-setc 16658  df-estrc 16695
This theorem is referenced by:  embedsetcestrc  16739
  Copyright terms: Public domain W3C validator