MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem4 24770
Description: Lemma for emcl 24774. The difference between series 𝐹 and 𝐺 tends to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
emcllem4 𝐻 ⇝ 0
Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem4
StepHypRef Expression
1 nnuz 11761 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11446 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 ax-1cn 10032 . . . 4 1 ∈ ℂ
4 divcnv 14629 . . . 4 (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
53, 4mp1i 13 . . 3 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
6 emcl.3 . . . . 5 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
7 nnex 11064 . . . . . 6 ℕ ∈ V
87mptex 6527 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛)))) ∈ V
96, 8eqeltri 2726 . . . 4 𝐻 ∈ V
109a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐻 ∈ V)
11 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑚))
12 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
13 ovex 6718 . . . . . 6 (1 / 𝑚) ∈ V
1411, 12, 13fvmpt 6321 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑚) = (1 / 𝑚))
1514adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑚) = (1 / 𝑚))
16 nnrecre 11095 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
1716adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
1815, 17eqeltrd 2730 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑚) ∈ ℝ)
1911oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑚)))
2019fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (log‘(1 + (1 / 𝑛))) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
21 fvex 6239 . . . . . . 7 (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ V
2220, 6, 21fvmpt 6321 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐻𝑚) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
2322adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
24 1rp 11874 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
25 nnrp 11880 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
2625adantl 481 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
2726rpreccld 11920 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ+)
28 rpaddcl 11892 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑚) ∈ ℝ+) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
2924, 27, 28sylancr 696 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
3029rpred 11910 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ)
31 1re 10077 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
32 ltaddrp 11905 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑚) ∈ ℝ+) → 1 < (1 + (1 / 𝑚)))
3331, 27, 32sylancr 696 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < (1 + (1 / 𝑚)))
3430, 33rplogcld 24420 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ ℝ+)
3523, 34eqeltrd 2730 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ∈ ℝ+)
3635rpred 11910 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ∈ ℝ)
3729relogcld 24414 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ ℝ)
38 efgt1p 14889 . . . . . . . 8 ((1 / 𝑚) ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝑚)) < (exp‘(1 / 𝑚)))
3927, 38syl 17 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑚)) < (exp‘(1 / 𝑚)))
4017rpefcld 14879 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (exp‘(1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
41 logltb 24391 . . . . . . . 8 (((1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+ ∧ (exp‘(1 / 𝑚)) ∈ ℝ+) → ((1 + (1 / 𝑚)) < (exp‘(1 / 𝑚)) ↔ (log‘(1 + (1 / 𝑚))) < (log‘(exp‘(1 / 𝑚)))))
4229, 40, 41syl2anc 694 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝑚)) < (exp‘(1 / 𝑚)) ↔ (log‘(1 + (1 / 𝑚))) < (log‘(exp‘(1 / 𝑚)))))
4339, 42mpbid 222 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) < (log‘(exp‘(1 / 𝑚))))
4417relogefd 24419 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(exp‘(1 / 𝑚))) = (1 / 𝑚))
4543, 44breqtrd 4711 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) < (1 / 𝑚))
4637, 17, 45ltled 10223 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ≤ (1 / 𝑚))
4746, 23, 153brtr4d 4717 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑚))
4835rpge0d 11914 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐻𝑚))
491, 2, 5, 10, 18, 36, 47, 48climsqz2 14416 . 2 (⊤ → 𝐻 ⇝ 0)
5049trud 1533 1 𝐻 ⇝ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wtru 1524  wcel 2030  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  +crp 11870  ...cfz 12364  cli 14259  Σcsu 14460  expce 14836  logclog 24346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348
This theorem is referenced by:  emcllem6  24772
  Copyright terms: Public domain W3C validator