MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem6 24444
Description: Lemma for emcl 24446. By the previous lemmas, 𝐹 and 𝐺 must approach a common limit, which is γ by definition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
Assertion
Ref Expression
emcllem6 (𝐹 ⇝ γ ∧ 𝐺 ⇝ γ)
Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem6
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11555 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11241 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 oveq2 6535 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
43oveq2d 6543 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑘)))
54fveq2d 6092 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (log‘(1 + (1 / 𝑛))) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
63, 5oveq12d 6545 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
7 emcl.4 . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
8 ovex 6555 . . . . . . . . 9 ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6176 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑇𝑘) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
109adantl 480 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇𝑘) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
11 nnrecre 10904 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
1211adantl 480 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
13 1rp 11668 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
14 nnrp 11674 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
1514rpreccld 11714 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
1615adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
17 rpaddcl 11686 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
1813, 16, 17sylancr 693 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
1918relogcld 24090 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ ℝ)
2012, 19resubcld 10309 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ ℝ)
2120recnd 9924 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ ℂ)
22 emcl.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
23 emcl.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
24 emcl.3 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
2522, 23, 24, 7emcllem5 24443 . . . . . . . . 9 𝐺 = seq1( + , 𝑇)
2622, 23emcllem1 24439 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:ℕ⟶ℝ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℝ)
2726simpri 476 . . . . . . . . . . 11 𝐺:ℕ⟶ℝ
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
2922, 23emcllem2 24440 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐺𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1))))
3029simprd 477 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
3130adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
32 1nn 10878 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
3326simpli 472 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹:ℕ⟶ℝ
3433ffvelrni 6251 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐹‘1) ∈ ℝ
3627ffvelrni 6251 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
3736adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
3833ffvelrni 6251 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
3938adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
4035a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
41 fvex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ V
425, 24, 41fvmpt 6176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐻𝑘) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
4342adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
4422, 23, 24emcllem3 24441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)))
4544adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)))
4643, 45eqtr3d 2645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) = ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)))
47 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
48 readdcl 9875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ)
4947, 12, 48sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ)
50 ltaddrp 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → 1 < (1 + (1 / 𝑘)))
5147, 16, 50sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 < (1 + (1 / 𝑘)))
5249, 51rplogcld 24096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ ℝ+)
5346, 52eqeltrrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) ∈ ℝ+)
5453rpge0d 11708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)))
5539, 37subge0d 10466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) ↔ (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘)))
5654, 55mpbid 220 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
57 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘1))
5857breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹‘1) ≤ (𝐹‘1)))
59 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
6059breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘1)))
61 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
6261breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
6335leidi 10411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹‘1) ≤ (𝐹‘1)
6429simpld 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
65 peano2nn 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
6633ffvelrni 6251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
6835a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
69 letr 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘1) ∈ ℝ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
7067, 38, 68, 69syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
7164, 70mpand 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘1) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
7258, 60, 62, 60, 63, 71nnind 10885 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘1))
7372adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘1))
7437, 39, 40, 56, 73letrd 10045 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹‘1))
7574ralrimiva 2948 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘) ≤ (𝐹‘1))
76 breq2 4581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐹‘1) → ((𝐺𝑘) ≤ 𝑥 ↔ (𝐺𝑘) ≤ (𝐹‘1)))
7776ralbidv 2968 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐹‘1) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘) ≤ (𝐹‘1)))
7877rspcev 3281 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘) ≤ 𝑥)
7935, 75, 78sylancr 693 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘) ≤ 𝑥)
801, 2, 28, 31, 79climsup 14194 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
8125, 80syl5eqbrr 4613 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
82 climrel 14017 . . . . . . . . 9 Rel ⇝
8382releldmi 5270 . . . . . . . 8 (seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
8481, 83syl 17 . . . . . . 7 (⊤ → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
851, 2, 10, 21, 84isumclim2 14277 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , 𝑇) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
86 df-em 24436 . . . . . 6 γ = Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
8785, 25, 863brtr4g 4611 . . . . 5 (⊤ → 𝐺 ⇝ γ)
88 nnex 10873 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
8988mptex 6368 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛))) ∈ V
9022, 89eqeltri 2683 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
9190a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐹 ∈ V)
9222, 23, 24emcllem4 24442 . . . . . 6 𝐻 ⇝ 0
9392a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐻 ⇝ 0)
9437recnd 9924 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
9539, 37resubcld 10309 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
9645, 95eqeltrd 2687 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ ℝ)
9796recnd 9924 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ ℂ)
9845oveq2d 6543 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) + (𝐻𝑘)) = ((𝐺𝑘) + ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))))
9939recnd 9924 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
10094, 99pncan3d 10246 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) + ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) = (𝐹𝑘))
10198, 100eqtr2d 2644 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = ((𝐺𝑘) + (𝐻𝑘)))
1021, 2, 87, 91, 93, 94, 97, 101climadd 14156 . . . 4 (⊤ → 𝐹 ⇝ (γ + 0))
10387trud 1483 . . . . . 6 𝐺 ⇝ γ
104 climcl 14024 . . . . . 6 (𝐺 ⇝ γ → γ ∈ ℂ)
105103, 104ax-mp 5 . . . . 5 γ ∈ ℂ
106105addid1i 10074 . . . 4 (γ + 0) = γ
107102, 106syl6breq 4618 . . 3 (⊤ → 𝐹 ⇝ γ)
108107trud 1483 . 2 𝐹 ⇝ γ
109108, 103pm3.2i 469 1 (𝐹 ⇝ γ ∧ 𝐺 ⇝ γ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172   class class class wbr 4577  cmpt 4637  dom cdm 5028  ran crn 5029  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  supcsup 8206  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  +crp 11664  ...cfz 12152  seqcseq 12618  cli 14009  Σcsu 14210  logclog 24022  γcem 24435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-em 24436
This theorem is referenced by:  emcllem7  24445
  Copyright terms: Public domain W3C validator