MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem7 24773
Description: Lemma for emcl 24774 and harmonicbnd 24775. Derive bounds on γ as 𝐹(1) and 𝐺(1). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
Assertion
Ref Expression
emcllem7 (γ ∈ ((1 − (log‘2))[,]1) ∧ 𝐹:ℕ⟶(γ[,]1) ∧ 𝐺:ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem7
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11761 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11446 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 emcl.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
4 emcl.2 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
5 emcl.3 . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
6 emcl.4 . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
73, 4, 5, 6emcllem6 24772 . . . . . . 7 (𝐹 ⇝ γ ∧ 𝐺 ⇝ γ)
87simpri 477 . . . . . 6 𝐺 ⇝ γ
98a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐺 ⇝ γ)
103, 4emcllem1 24767 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ⟶ℝ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℝ)
1110simpri 477 . . . . . . 7 𝐺:ℕ⟶ℝ
1211ffvelrni 6398 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
1312adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
141, 2, 9, 13climrecl 14358 . . . 4 (⊤ → γ ∈ ℝ)
15 1nn 11069 . . . . 5 1 ∈ ℕ
16 simpr 476 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
178a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐺 ⇝ γ)
1812adantl 481 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
193, 4emcllem2 24768 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐺𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1))))
2019simprd 478 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
2120adantl 481 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
221, 16, 17, 18, 21climub 14436 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺𝑖) ≤ γ)
2322ralrimiva 2995 . . . . 5 (⊤ → ∀𝑖 ∈ ℕ (𝐺𝑖) ≤ γ)
24 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (𝐺𝑖) = (𝐺‘1))
25 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (1...𝑛) = (1...1))
2625sumeq1d 14475 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ (1...1)(1 / 𝑚))
27 1z 11445 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
28 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
29 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 1 → (1 / 𝑚) = (1 / 1))
30 1div1e1 10755 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 1) = 1
3129, 30syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 1 → (1 / 𝑚) = 1)
3231fsum1 14520 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (1...1)(1 / 𝑚) = 1)
3327, 28, 32mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑚 ∈ (1...1)(1 / 𝑚) = 1
3426, 33syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = 1)
35 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 1) = (1 + 1))
36 df-2 11117 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (1 + 1)
3735, 36syl6eqr 2703 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 1) = 2)
3837fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → (log‘(𝑛 + 1)) = (log‘2))
3934, 38oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (1 − (log‘2)))
40 1re 10077 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
41 2rp 11875 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
42 relogcl 24367 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (log‘2) ∈ ℝ
4440, 43resubcli 10381 . . . . . . . . . . 11 (1 − (log‘2)) ∈ ℝ
4544elexi 3244 . . . . . . . . . 10 (1 − (log‘2)) ∈ V
4639, 4, 45fvmpt 6321 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℕ → (𝐺‘1) = (1 − (log‘2)))
4715, 46ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐺‘1) = (1 − (log‘2))
4824, 47syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → (𝐺𝑖) = (1 − (log‘2)))
4948breq1d 4695 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → ((𝐺𝑖) ≤ γ ↔ (1 − (log‘2)) ≤ γ))
5049rspcva 3338 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ (𝐺𝑖) ≤ γ) → (1 − (log‘2)) ≤ γ)
5115, 23, 50sylancr 696 . . . 4 (⊤ → (1 − (log‘2)) ≤ γ)
52 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑖 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑖))
5352negeqd 10313 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑖 → -(𝐹𝑥) = -(𝐹𝑖))
54 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))
55 negex 10317 . . . . . . . . . . 11 -(𝐹𝑖) ∈ V
5653, 54, 55fvmpt 6321 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑖) = -(𝐹𝑖))
5756adantl 481 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑖) = -(𝐹𝑖))
587simpli 473 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 ⇝ γ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 𝐹 ⇝ γ)
60 0cnd 10071 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
61 nnex 11064 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ ∈ V
6261mptex 6527 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥)) ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥)) ∈ V)
6410simpli 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹:ℕ⟶ℝ
6564ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6665adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6766recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
68 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
6968negeqd 10313 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘 → -(𝐹𝑥) = -(𝐹𝑘))
70 negex 10317 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(𝐹𝑘) ∈ V
7169, 54, 70fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
73 df-neg 10307 . . . . . . . . . . . . 13 -(𝐹𝑘) = (0 − (𝐹𝑘))
7472, 73syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) = (0 − (𝐹𝑘)))
751, 2, 59, 60, 63, 67, 74climsubc2 14413 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥)) ⇝ (0 − γ))
7675adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥)) ⇝ (0 − γ))
7766renegcld 10495 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7872, 77eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) ∈ ℝ)
7978adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) ∈ ℝ)
8019simpld 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
8180adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
82 peano2nn 11070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
8382adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
8464ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
8685, 66lenegd 10644 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ -(𝐹𝑘) ≤ -(𝐹‘(𝑘 + 1))))
8781, 86mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(𝐹𝑘) ≤ -(𝐹‘(𝑘 + 1)))
88 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8988negeqd 10313 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑘 + 1) → -(𝐹𝑥) = -(𝐹‘(𝑘 + 1)))
90 negex 10317 . . . . . . . . . . . . . 14 -(𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ V
9189, 54, 90fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘(𝑘 + 1)) = -(𝐹‘(𝑘 + 1)))
9283, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘(𝑘 + 1)) = -(𝐹‘(𝑘 + 1)))
9387, 72, 923brtr4d 4717 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) ≤ ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘(𝑘 + 1)))
9493adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) ≤ ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘(𝑘 + 1)))
951, 16, 76, 79, 94climub 14436 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑖) ≤ (0 − γ))
9657, 95eqbrtrrd 4709 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → -(𝐹𝑖) ≤ (0 − γ))
97 df-neg 10307 . . . . . . . 8 -γ = (0 − γ)
9896, 97syl6breqr 4727 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → -(𝐹𝑖) ≤ -γ)
9914trud 1533 . . . . . . . 8 γ ∈ ℝ
10064ffvelrni 6398 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℕ → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
101100adantl 481 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
102 leneg 10569 . . . . . . . 8 ((γ ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑖) ∈ ℝ) → (γ ≤ (𝐹𝑖) ↔ -(𝐹𝑖) ≤ -γ))
10399, 101, 102sylancr 696 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (γ ≤ (𝐹𝑖) ↔ -(𝐹𝑖) ≤ -γ))
10498, 103mpbird 247 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → γ ≤ (𝐹𝑖))
105104ralrimiva 2995 . . . . 5 (⊤ → ∀𝑖 ∈ ℕ γ ≤ (𝐹𝑖))
106 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (𝐹𝑖) = (𝐹‘1))
107 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (log‘𝑛) = (log‘1))
108 log1 24377 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘1) = 0
109107, 108syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (log‘𝑛) = 0)
11034, 109oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)) = (1 − 0))
111 1m0e1 11169 . . . . . . . . . . 11 (1 − 0) = 1
112110, 111syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)) = 1)
11340elexi 3244 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
114112, 3, 113fvmpt 6321 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) = 1)
11515, 114ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐹‘1) = 1
116106, 115syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → (𝐹𝑖) = 1)
117116breq2d 4697 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (γ ≤ (𝐹𝑖) ↔ γ ≤ 1))
118117rspcva 3338 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ γ ≤ (𝐹𝑖)) → γ ≤ 1)
11915, 105, 118sylancr 696 . . . 4 (⊤ → γ ≤ 1)
12044, 40elicc2i 12277 . . . 4 (γ ∈ ((1 − (log‘2))[,]1) ↔ (γ ∈ ℝ ∧ (1 − (log‘2)) ≤ γ ∧ γ ≤ 1))
12114, 51, 119, 120syl3anbrc 1265 . . 3 (⊤ → γ ∈ ((1 − (log‘2))[,]1))
122 ffn 6083 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℕ)
12364, 122mp1i 13 . . . 4 (⊤ → 𝐹 Fn ℕ)
12416, 1syl6eleq 2740 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ‘1))
125 elfznn 12408 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑖) → 𝑘 ∈ ℕ)
126125adantl 481 . . . . . . . . 9 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℕ)
127126, 65syl 17 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
128 elfznn 12408 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(𝑖 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
129128adantl 481 . . . . . . . . 9 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑖 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
130129, 80syl 17 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑖 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
131124, 127, 130monoord2 12872 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ≤ (𝐹‘1))
132131, 115syl6breq 4726 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ≤ 1)
13399, 40elicc2i 12277 . . . . . 6 ((𝐹𝑖) ∈ (γ[,]1) ↔ ((𝐹𝑖) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (𝐹𝑖) ∧ (𝐹𝑖) ≤ 1))
134101, 104, 132, 133syl3anbrc 1265 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ∈ (γ[,]1))
135134ralrimiva 2995 . . . 4 (⊤ → ∀𝑖 ∈ ℕ (𝐹𝑖) ∈ (γ[,]1))
136 ffnfv 6428 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶(γ[,]1) ↔ (𝐹 Fn ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ (𝐹𝑖) ∈ (γ[,]1)))
137123, 135, 136sylanbrc 699 . . 3 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶(γ[,]1))
138 ffn 6083 . . . . 5 (𝐺:ℕ⟶ℝ → 𝐺 Fn ℕ)
13911, 138mp1i 13 . . . 4 (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
14011ffvelrni 6398 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ → (𝐺𝑖) ∈ ℝ)
141140adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺𝑖) ∈ ℝ)
142126, 12syl 17 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
143129, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑖 − 1))) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
144124, 142, 143monoord 12871 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺‘1) ≤ (𝐺𝑖))
14547, 144syl5eqbrr 4721 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 − (log‘2)) ≤ (𝐺𝑖))
14644, 99elicc2i 12277 . . . . . 6 ((𝐺𝑖) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ) ↔ ((𝐺𝑖) ∈ ℝ ∧ (1 − (log‘2)) ≤ (𝐺𝑖) ∧ (𝐺𝑖) ≤ γ))
147141, 145, 22, 146syl3anbrc 1265 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺𝑖) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ))
148147ralrimiva 2995 . . . 4 (⊤ → ∀𝑖 ∈ ℕ (𝐺𝑖) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ))
149 ffnfv 6428 . . . 4 (𝐺:ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ) ↔ (𝐺 Fn ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ (𝐺𝑖) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ)))
150139, 148, 149sylanbrc 699 . . 3 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ))
151121, 137, 1503jca 1261 . 2 (⊤ → (γ ∈ ((1 − (log‘2))[,]1) ∧ 𝐹:ℕ⟶(γ[,]1) ∧ 𝐺:ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ)))
152151trud 1533 1 (γ ∈ ((1 − (log‘2))[,]1) ∧ 𝐹:ℕ⟶(γ[,]1) ∧ 𝐺:ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wtru 1524  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  cmpt 4762   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  cli 14259  Σcsu 14460  logclog 24346  γcem 24763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-em 24764
This theorem is referenced by:  emcl  24774  harmonicbnd  24775  harmonicbnd2  24776
  Copyright terms: Public domain W3C validator