MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1eqsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en1eqsn 8142
Description: A set with one element is a singleton. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
en1eqsn ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐵 = {𝐴})

Proof of Theorem en1eqsn
StepHypRef Expression
1 1onn 7671 . . . . . 6 1𝑜 ∈ ω
2 ssid 3608 . . . . . 6 1𝑜 ⊆ 1𝑜
3 ssnnfi 8131 . . . . . 6 ((1𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ⊆ 1𝑜) → 1𝑜 ∈ Fin)
41, 2, 3mp2an 707 . . . . 5 1𝑜 ∈ Fin
5 enfii 8129 . . . . 5 ((1𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐵 ∈ Fin)
64, 5mpan 705 . . . 4 (𝐵 ≈ 1𝑜𝐵 ∈ Fin)
76adantl 482 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐵 ∈ Fin)
8 snssi 4313 . . . 4 (𝐴𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
98adantr 481 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1𝑜) → {𝐴} ⊆ 𝐵)
10 ensn1g 7973 . . . 4 (𝐴𝐵 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
11 ensym 7957 . . . 4 (𝐵 ≈ 1𝑜 → 1𝑜𝐵)
12 entr 7960 . . . 4 (({𝐴} ≈ 1𝑜 ∧ 1𝑜𝐵) → {𝐴} ≈ 𝐵)
1310, 11, 12syl2an 494 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1𝑜) → {𝐴} ≈ 𝐵)
14 fisseneq 8123 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ≈ 𝐵) → {𝐴} = 𝐵)
157, 9, 13, 14syl3anc 1323 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1𝑜) → {𝐴} = 𝐵)
1615eqcomd 2627 1 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐵 = {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3559  {csn 4153   class class class wbr 4618  ωcom 7019  1𝑜c1o 7505  cen 7904  Fincfn 7907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-om 7020  df-1o 7512  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911
This theorem is referenced by:  en1eqsnbi  8143  gex1  17938  0cyg  18226  pgpfac1lem3a  18407  pgpfaclem3  18414  0ring  19202  en1top  20712  cnextfres1  21795  xrge0tsmseq  29596  sconnpi1  30964  rngoueqz  33406  isdmn3  33540
  Copyright terms: Public domain W3C validator