MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1top Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en1top 20769
Description: {∅} is the only topology with one element. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
en1top (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1𝑜𝐽 = {∅}))

Proof of Theorem en1top
StepHypRef Expression
1 0opn 20690 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
2 en1eqsn 8175 . . . 4 ((∅ ∈ 𝐽𝐽 ≈ 1𝑜) → 𝐽 = {∅})
32ex 450 . . 3 (∅ ∈ 𝐽 → (𝐽 ≈ 1𝑜𝐽 = {∅}))
41, 3syl 17 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1𝑜𝐽 = {∅}))
5 id 22 . . 3 (𝐽 = {∅} → 𝐽 = {∅})
6 0ex 4781 . . . 4 ∅ ∈ V
76ensn1 8005 . . 3 {∅} ≈ 1𝑜
85, 7syl6eqbr 4683 . 2 (𝐽 = {∅} → 𝐽 ≈ 1𝑜)
94, 8impbid1 215 1 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1𝑜𝐽 = {∅}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1481  wcel 1988  c0 3907  {csn 4168   class class class wbr 4644  1𝑜c1o 7538  cen 7937  Topctop 20679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-om 7051  df-1o 7545  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-top 20680
This theorem is referenced by:  hmph0  21579
  Copyright terms: Public domain W3C validator