Theorem en1uniel 8189

Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en1uniel	⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem en1uniel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 8122	. . . 4 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelexi 5311	. . 3 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → 𝑆 ∈ V)
3		uniexg 7116	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → ∪ 𝑆 ∈ V)
4		snidg 4347	. . 3 ⊢ (∪ 𝑆 ∈ V → ∪ 𝑆 ∈ {∪ 𝑆})
5	2, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → ∪ 𝑆 ∈ {∪ 𝑆})
6		en1b 8185	. . 3 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 ↔ 𝑆 = {∪ 𝑆})
7	6	biimpi 206	. 2 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → 𝑆 = {∪ 𝑆})
8	5, 7	eleqtrrd 2838	1 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1628   ∈ wcel 2135  Vcvv 3336  {csn 4317  ∪ cuni 4584   class class class wbr 4800  1_𝑜c1o 7718   ≈ cen 8114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pr 5051  ax-un 7110

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-br 4801  df-opab 4861  df-id 5170  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-1o 7725  df-en 8118

This theorem is referenced by:  en2eleq  9017  en2other2  9018  pmtrf  18071  pmtrmvd  18072  pmtrfinv  18077  frgpcyg  20120