MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2other2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en2other2 8777
Description: Taking the other element twice in a pair gets back to the original element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2other2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = 𝑋)

Proof of Theorem en2other2
StepHypRef Expression
1 en2eleq 8776 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})})
2 prcom 4242 . . . . . . 7 {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} = { (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋}
31, 2syl6eq 2676 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑃 = { (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋})
43difeq1d 3710 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = ({ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋} ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}))
5 difprsnss 4303 . . . . 5 ({ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋} ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) ⊆ {𝑋}
64, 5syl6eqss 3639 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) ⊆ {𝑋})
7 simpl 473 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑋𝑃)
8 1onn 7665 . . . . . . . . . 10 1𝑜 ∈ ω
98a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 1𝑜 ∈ ω)
10 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑃 ≈ 2𝑜)
11 df-2o 7507 . . . . . . . . . 10 2𝑜 = suc 1𝑜
1210, 11syl6breq 4659 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑃 ≈ suc 1𝑜)
13 dif1en 8138 . . . . . . . . 9 ((1𝑜 ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1𝑜𝑋𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1𝑜)
149, 12, 7, 13syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1𝑜)
15 en1uniel 7973 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1𝑜 (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
16 eldifsni 4294 . . . . . . . 8 ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
1817necomd 2851 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋}))
19 eldifsn 4292 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) ↔ (𝑋𝑃𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋})))
207, 18, 19sylanbrc 697 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}))
2120snssd 4314 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → {𝑋} ⊆ (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}))
226, 21eqssd 3605 . . 3 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = {𝑋})
2322unieqd 4417 . 2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = {𝑋})
24 unisng 4423 . . 3 (𝑋𝑃 {𝑋} = 𝑋)
2524adantr 481 . 2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → {𝑋} = 𝑋)
2623, 25eqtrd 2660 1 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  cdif 3557  {csn 4153  {cpr 4155   cuni 4407   class class class wbr 4618  suc csuc 5687  ωcom 7013  1𝑜c1o 7499  2𝑜c2o 7500  cen 7897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-om 7014  df-1o 7506  df-2o 7507  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904
This theorem is referenced by:  pmtrfinv  17797
  Copyright terms: Public domain W3C validator