MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  endomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem endomtr 8555
Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
endomtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem endomtr
StepHypRef Expression
1 endom 8524 . 2 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
2 domtr 8550 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan 580 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   class class class wbr 5057  cen 8494  cdom 8495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-f1o 6355  df-en 8498  df-dom 8499
This theorem is referenced by:  cnvct  8574  undom  8593  xpdom1g  8602  xpdom3  8603  domunsncan  8605  domsdomtr  8640  domen1  8647  mapdom1  8670  mapdom2  8676  mapdom3  8677  php  8689  onomeneq  8696  sucdom2  8702  hartogslem1  8994  harcard  9395  infxpenlem  9427  infpwfien  9476  alephsucdom  9493  mappwen  9526  dfac12lem2  9558  djulepw  9606  fictb  9655  cfflb  9669  canthp1lem1  10062  pwfseqlem5  10073  pwxpndom2  10075  pwdjundom  10077  gchxpidm  10079  gchhar  10089  tskinf  10179  inar1  10185  gruina  10228  rexpen  15569  mreexdomd  16908  hauspwdom  22037  rectbntr0  23367  rabfodom  30193  snct  30375  dya2iocct  31437  finminlem  33563  pibt2  34580  lindsdom  34767  poimirlem26  34799  heiborlem3  34972  pellexlem4  39307  pellexlem5  39308  sn1dom  39770  mpct  41340  aacllem  44830
  Copyright terms: Public domain W3C validator