Theorem endomtr 8055

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8024	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 8050	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 487	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   class class class wbr 4685   ≈ cen 7994   ≼ cdom 7995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-f1o 5933  df-en 7998  df-dom 7999

This theorem is referenced by:  cnvct  8074  undom  8089  xpdom1g  8098  xpdom3  8099  domunsncan  8101  domsdomtr  8136  domen1  8143  mapdom1  8166  mapdom2  8172  mapdom3  8173  php  8185  onomeneq  8191  sucdom2  8197  hartogslem1  8488  harcard  8842  infxpenlem  8874  infpwfien  8923  alephsucdom  8940  mappwen  8973  dfac12lem2  9004  cdalepw  9056  fictb  9105  cfflb  9119  canthp1lem1  9512  pwfseqlem5  9523  pwxpndom2  9525  pwcdandom  9527  gchxpidm  9529  gchhar  9539  tskinf  9629  inar1  9635  gruina  9678  rexpen  15001  mreexdomd  16357  hauspwdom  21352  rectbntr0  22682  rabfodom  29470  snct  29619  dya2iocct  30470  finminlem  32437  lindsdom  33533  poimirlem26  33565  heiborlem3  33742  pellexlem4  37713  pellexlem5  37714  mpct  39707  aacllem  42875