Theorem endomtr 7877

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 7845	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 7872	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 486	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   class class class wbr 4577   ≈ cen 7815   ≼ cdom 7816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-f1o 5797  df-en 7819  df-dom 7820

This theorem is referenced by:  undom  7910  xpdom1g  7919  xpdom3  7920  domunsncan  7922  domsdomtr  7957  domen1  7964  mapdom1  7987  mapdom2  7993  mapdom3  7994  php  8006  onomeneq  8012  sucdom2  8018  hartogslem1  8307  harcard  8664  infxpenlem  8696  infpwfien  8745  alephsucdom  8762  mappwen  8795  dfac12lem2  8826  cdalepw  8878  fictb  8927  cfflb  8941  canthp1lem1  9330  pwfseqlem5  9341  pwxpndom2  9343  pwcdandom  9345  gchxpidm  9347  gchhar  9357  tskinf  9447  inar1  9453  gruina  9496  rexpen  14742  mreexdomd  16079  hauspwdom  21056  rectbntr0  22375  rabfodom  28534  snct  28680  cnvct  28684  dya2iocct  29475  finminlem  31288  lindsdom  32376  poimirlem26  32408  heiborlem3  32585  pellexlem4  36217  pellexlem5  36218  mpct  38191  aacllem  42319