Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ener Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ener 7946
 Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
ener ≈ Er V

Proof of Theorem ener
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 7904 . 2 Rel ≈
2 bren 7908 . . 3 (𝑥𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦)
3 vex 3189 . . . . 5 𝑦 ∈ V
4 vex 3189 . . . . 5 𝑥 ∈ V
5 f1ocnv 6106 . . . . 5 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑥)
6 f1oen2g 7916 . . . . 5 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑓:𝑦1-1-onto𝑥) → 𝑦𝑥)
73, 4, 5, 6mp3an12i 1425 . . . 4 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑦𝑥)
87exlimiv 1855 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑦𝑥)
92, 8sylbi 207 . 2 (𝑥𝑦𝑦𝑥)
10 bren 7908 . . 3 (𝑥𝑦 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦)
11 bren 7908 . . 3 (𝑦𝑧 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧)
12 eeanv 2181 . . . 4 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧))
13 vex 3189 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
14 f1oco 6116 . . . . . . 7 ((𝑓:𝑦1-1-onto𝑧𝑔:𝑥1-1-onto𝑦) → (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧)
1514ancoms 469 . . . . . 6 ((𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧)
16 f1oen2g 7916 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
174, 13, 15, 16mp3an12i 1425 . . . . 5 ((𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
1817exlimivv 1857 . . . 4 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
1912, 18sylbir 225 . . 3 ((∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
2010, 11, 19syl2anb 496 . 2 ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧)
214enref 7932 . . 3 𝑥𝑥
224, 212th 254 . 2 (𝑥 ∈ V ↔ 𝑥𝑥)
231, 9, 20, 22iseri 7714 1 ≈ Er V
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 384  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   class class class wbr 4613  ◡ccnv 5073   ∘ ccom 5078  –1-1-onto→wf1o 5846   Er wer 7684   ≈ cen 7896 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-er 7687  df-en 7900 This theorem is referenced by:  ensymb  7948  entr  7952
 Copyright terms: Public domain W3C validator