MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enfii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enfii 8129
Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfii ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem enfii
StepHypRef Expression
1 enfi 8128 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
21biimparc 504 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987   class class class wbr 4618  cen 7904  Fincfn 7907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-er 7694  df-en 7908  df-fin 7911
This theorem is referenced by:  domfi  8133  en1eqsn  8142  isfinite2  8170  xpfi  8183  fofinf1o  8193  cnvfi  8200  f1dmvrnfibi  8202  pwfi  8213  cantnfcl  8516  en2eqpr  8782  fzfi  12719  hasheni  13084  fz1isolem  13191  isercolllem2  14338  isercoll  14340  summolem2a  14387  summolem2  14388  zsum  14390  prodmolem2a  14600  prodmolem2  14601  zprod  14603  bitsf1  15103  isprm2lem  15329  orbsta2  17679  ovoliunlem1  23193  wlksnfi  26688  eupthfi  26948  eulerpartlemgs2  30247  derangenlem  30896  erdsze2lem2  30929  heicant  33111
  Copyright terms: Public domain W3C validator