Theorem enfii 8734

Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enfii	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem enfii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enfi 8733	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
2	1	biimparc 482	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5065   ≈ cen 8505  Fincfn 8508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-er 8288  df-en 8509  df-fin 8512

This theorem is referenced by:  domfi  8738  en1eqsn  8747  isfinite2  8775  xpfi  8788  fofinf1o  8798  cnvfi  8805  f1dmvrnfibi  8807  pwfi  8818  cantnfcl  9129  en2eqpr  9432  fzfi  13339  hasheni  13707  fz1isolem  13818  isercolllem2  15021  isercoll  15023  summolem2  15072  zsum  15074  prodmolem2  15288  zprod  15290  bitsf1  15794  simpgnsgd  19221  ovoliunlem1  24102  wlksnfi  27685  eupthfi  27983  eulerpartlemgs2  31638  derangenlem  32418  erdsze2lem2  32451  heicant  34926