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Theorem enfin2i 9088
Description: II-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfin2i (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinII𝐵 ∈ FinII))

Proof of Theorem enfin2i
Dummy variables 𝑓 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 7909 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
2 elpwi 4145 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵)
3 imauni 6459 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) = 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} (𝑓𝑧)
4 vex 3194 . . . . . . . . . . . . 13 𝑓 ∈ V
54imaex 7052 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑧) ∈ V
65dfiun2 4525 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} (𝑓𝑧) = {𝑤 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}𝑤 = (𝑓𝑧)}
73, 6eqtri 2648 . . . . . . . . . 10 (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) = {𝑤 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}𝑤 = (𝑓𝑧)}
8 imaeq2 5425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑧 → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑧))
98eleq1d 2688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑓𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥))
109rexrab 3357 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}𝑤 = (𝑓𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝐴((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)))
11 eleq1 2692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = (𝑓𝑧) → (𝑤𝑥 ↔ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥))
1211biimparc 504 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)) → 𝑤𝑥)
1312rexlimivw 3027 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑧 ∈ 𝒫 𝐴((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)) → 𝑤𝑥)
14 cnvimass 5448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓𝑤) ⊆ dom 𝑓
15 f1odm 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
1615ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → dom 𝑓 = 𝐴)
1714, 16syl5sseq 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → (𝑓𝑤) ⊆ 𝐴)
184cnvex 7063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑓 ∈ V
1918imaex 7052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓𝑤) ∈ V
2019elpw 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓𝑤) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑓𝑤) ⊆ 𝐴)
2117, 20sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → (𝑓𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
22 f1ofo 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴onto𝐵)
2322ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → 𝑓:𝐴onto𝐵)
24 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → 𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵)
2524sselda 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝐵)
2625elpwid 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → 𝑤𝐵)
27 foimacnv 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:𝐴onto𝐵𝑤𝐵) → (𝑓 “ (𝑓𝑤)) = 𝑤)
2823, 26, 27syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → (𝑓 “ (𝑓𝑤)) = 𝑤)
2928eqcomd 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → 𝑤 = (𝑓 “ (𝑓𝑤)))
30 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → 𝑤𝑥)
3129, 30eqeltrrd 2705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → (𝑓 “ (𝑓𝑤)) ∈ 𝑥)
32 imaeq2 5425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (𝑓𝑤) → (𝑓𝑧) = (𝑓 “ (𝑓𝑤)))
3332eleq1d 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝑓𝑤) → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (𝑓 “ (𝑓𝑤)) ∈ 𝑥))
3432eqeq2d 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝑓𝑤) → (𝑤 = (𝑓𝑧) ↔ 𝑤 = (𝑓 “ (𝑓𝑤))))
3533, 34anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑓𝑤) → (((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)) ↔ ((𝑓 “ (𝑓𝑤)) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓 “ (𝑓𝑤)))))
3635rspcev 3300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓𝑤) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝑓 “ (𝑓𝑤)) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓 “ (𝑓𝑤)))) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝐴((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)))
3721, 31, 29, 36syl12anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝐴((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)))
3837ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → (𝑤𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝐴((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧))))
3913, 38impbid2 216 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → (∃𝑧 ∈ 𝒫 𝐴((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)) ↔ 𝑤𝑥))
4010, 39syl5bb 272 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → (∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}𝑤 = (𝑓𝑧) ↔ 𝑤𝑥))
4140abbi1dv 2746 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → {𝑤 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}𝑤 = (𝑓𝑧)} = 𝑥)
4241unieqd 4417 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → {𝑤 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}𝑤 = (𝑓𝑧)} = 𝑥)
437, 42syl5eq 2672 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) = 𝑥)
44 simplr 791 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → 𝐴 ∈ FinII)
45 ssrab2 3671 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ⊆ 𝒫 𝐴
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ⊆ 𝒫 𝐴)
47 simprrl 803 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅)
48 n0 3912 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝑥)
4947, 48sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → ∃𝑤 𝑤𝑥)
50 imaeq2 5425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑓𝑤) → (𝑓𝑦) = (𝑓 “ (𝑓𝑤)))
5150eleq1d 2688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑓𝑤) → ((𝑓𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑓 “ (𝑓𝑤)) ∈ 𝑥))
5251rspcev 3300 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓𝑤) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓 “ (𝑓𝑤)) ∈ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑓𝑦) ∈ 𝑥)
5321, 31, 52syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑓𝑦) ∈ 𝑥)
5449, 53exlimddv 1865 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑓𝑦) ∈ 𝑥)
55 rabn0 3937 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑓𝑦) ∈ 𝑥)
5654, 55sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ≠ ∅)
579elrab 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥))
58 imaeq2 5425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑤 → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑤))
5958eleq1d 2688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑓𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))
6059elrab 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ↔ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))
6157, 60anbi12i 732 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∧ 𝑤 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) ↔ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥)))
62 simprrr 804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → [] Or 𝑥)
6362adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → [] Or 𝑥)
64 simprlr 802 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → (𝑓𝑧) ∈ 𝑥)
65 simprrr 804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → (𝑓𝑤) ∈ 𝑥)
66 sorpssi 6897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( [] Or 𝑥 ∧ ((𝑓𝑧) ∈ 𝑥 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥)) → ((𝑓𝑧) ⊆ (𝑓𝑤) ∨ (𝑓𝑤) ⊆ (𝑓𝑧)))
6763, 64, 65, 66syl12anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → ((𝑓𝑧) ⊆ (𝑓𝑤) ∨ (𝑓𝑤) ⊆ (𝑓𝑧)))
68 f1of1 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴1-1𝐵)
6968ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → 𝑓:𝐴1-1𝐵)
70 simprll 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝐴)
7170elpwid 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → 𝑧𝐴)
72 simprrl 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝐴)
7372elpwid 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → 𝑤𝐴)
74 f1imass 6476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → ((𝑓𝑧) ⊆ (𝑓𝑤) ↔ 𝑧𝑤))
7569, 71, 73, 74syl12anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → ((𝑓𝑧) ⊆ (𝑓𝑤) ↔ 𝑧𝑤))
76 f1imass 6476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝑤𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑓𝑤) ⊆ (𝑓𝑧) ↔ 𝑤𝑧))
7769, 73, 71, 76syl12anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → ((𝑓𝑤) ⊆ (𝑓𝑧) ↔ 𝑤𝑧))
7875, 77orbi12d 745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → (((𝑓𝑧) ⊆ (𝑓𝑤) ∨ (𝑓𝑤) ⊆ (𝑓𝑧)) ↔ (𝑧𝑤𝑤𝑧)))
7967, 78mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → (𝑧𝑤𝑤𝑧))
8061, 79sylan2b 492 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∧ 𝑤 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥})) → (𝑧𝑤𝑤𝑧))
8180ralrimivva 2970 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}∀𝑤 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} (𝑧𝑤𝑤𝑧))
82 sorpss 6896 . . . . . . . . . . . 12 ( [] Or {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}∀𝑤 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} (𝑧𝑤𝑤𝑧))
8381, 82sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → [] Or {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥})
84 fin2i 9062 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ FinII ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ ({𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ≠ ∅ ∧ [] Or {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥})) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥})
8544, 46, 56, 83, 84syl22anc 1324 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥})
86 imaeq2 5425 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} → (𝑓𝑧) = (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}))
8786eleq1d 2688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) ∈ 𝑥))
889cbvrabv 3190 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} = {𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥}
8987, 88elrab2 3353 . . . . . . . . . . 11 ( {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ↔ ( {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) ∈ 𝑥))
9089simprbi 480 . . . . . . . . . 10 ( {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} → (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) ∈ 𝑥)
9185, 90syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) ∈ 𝑥)
9243, 91eqeltrrd 2705 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → 𝑥𝑥)
9392expr 642 . . . . . . 7 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥))
942, 93sylan2 491 . . . . . 6 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥))
9594ralrimiva 2965 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥))
9695ex 450 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ FinII → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥)))
9796exlimiv 1860 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ FinII → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥)))
981, 97sylbi 207 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinII → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥)))
99 relen 7905 . . . 4 Rel ≈
10099brrelex2i 5124 . . 3 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
101 isfin2 9061 . . 3 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ FinII ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥)))
102100, 101syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐵 ∈ FinII ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥)))
10398, 102sylibrd 249 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinII𝐵 ∈ FinII))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1992  {cab 2612  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  {crab 2916  Vcvv 3191  wss 3560  c0 3896  𝒫 cpw 4135   cuni 4407   ciun 4490   class class class wbr 4618   Or wor 4999  ccnv 5078  dom cdm 5079  cima 5082  1-1wf1 5847  ontowfo 5848  1-1-ontowf1o 5849   [] crpss 6890  cen 7897  FinIIcfin2 9046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-rpss 6891  df-en 7901  df-fin2 9053
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