Theorem engch 10044

Description: The property of being a GCH-set is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
engch	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ GCH ↔ 𝐵 ∈ GCH))

Proof of Theorem engch

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enfi 8728	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
2		sdomen1 8655	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≺ 𝑥 ↔ 𝐵 ≺ 𝑥))
3		pwen 8684	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
4		sdomen2 8656	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵 → (𝑥 ≺ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝑥 ≺ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))
6	2, 5	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ((𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ (𝐵 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵)))
7	6	notbid 320	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ ¬ (𝐵 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵)))
8	7	albidv 1917	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ ∀𝑥 ¬ (𝐵 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵)))
9	1, 8	orbi12d 915	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐵 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))))
10		relen 8508	. . . 4 ⊢ Rel ≈
11	10	brrelex1i 5602	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
12		elgch 10038	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
14	10	brrelex2i 5603	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
15		elgch 10038	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ GCH ↔ (𝐵 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐵 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))))
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐵 ∈ GCH ↔ (𝐵 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐵 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))))
17	9, 13, 16	3bitr4d 313	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ GCH ↔ 𝐵 ∈ GCH))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843  ∀wal 1531   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494  𝒫 cpw 4538   class class class wbr 5058   ≈ cen 8500   ≺ csdm 8502  Fincfn 8503  GCHcgch 10036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-1o 8096  df-2o 8097  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-gch 10037

This theorem is referenced by:  gch2  10091