MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enrefg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enrefg 8529
Description: Equinumerosity is reflexive. Theorem 1 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 18-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
enrefg (𝐴𝑉𝐴𝐴)

Proof of Theorem enrefg
StepHypRef Expression
1 f1oi 6645 . . 3 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
2 f1oen2g 8514 . . 3 ((𝐴𝑉𝐴𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐴𝐴)
31, 2mp3an3 1441 . 2 ((𝐴𝑉𝐴𝑉) → 𝐴𝐴)
43anidms 567 1 (𝐴𝑉𝐴𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105   class class class wbr 5057   I cid 5452  cres 5550  1-1-ontowf1o 6347  cen 8494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-en 8498
This theorem is referenced by:  enref  8530  eqeng  8531  domrefg  8532  difsnen  8587  sdomirr  8642  mapdom1  8670  mapdom2  8676  onfin  8697  ssnnfi  8725  rneqdmfinf1o  8788  infdifsn  9108  infdiffi  9109  onenon  9366  cardonle  9374  dju1en  9585  xpdjuen  9593  mapdjuen  9594  onadju  9607  ssfin4  9720  canthp1lem1  10062  gchhar  10089  hashfac  13804  mreexexlem3d  16905  cyggenod  18932  fidomndrnglem  20007  mdetunilem8  21156  frlmpwfi  39576  fiuneneq  39675  enrelmap  40221
  Copyright terms: Public domain W3C validator