Theorem ensdomtr 4460

Description: Transitivity of equinumerosity and strict dominance.

Assertion

Ref	Expression
ensdomtr	⊢ ((A ≈ B ⋀ B ≺ C) → A ≺ C)

Proof of Theorem ensdomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endomtr 4410	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ≈ B ⋀ B ≼ C) → A ≼ C)
2	1	ex 373	. . . . . . 7 ⊢ (A ≈ B → (B ≼ C → A ≼ C))
3	2	adantl 388	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ V ⋀ A ≈ B) → (B ≼ C → A ≼ C))
4		ensymg 4401	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ V → (A ≈ B → B ≈ A))
5	4	imp 350	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ V ⋀ A ≈ B) → B ≈ A)
6		entrt 4404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ≈ A ⋀ A ≈ C) → B ≈ C)
7	6	ex 373	. . . . . . . 8 ⊢ (B ≈ A → (A ≈ C → B ≈ C))
8	5, 7	syl 10	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ V ⋀ A ≈ B) → (A ≈ C → B ≈ C))
9	8	con3d 95	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ V ⋀ A ≈ B) → (¬ B ≈ C → ¬ A ≈ C))
10	3, 9	anim12d 557	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ V ⋀ A ≈ B) → ((B ≼ C ⋀ ¬ B ≈ C) → (A ≼ C ⋀ ¬ A ≈ C)))
11		brsdom 4372	. . . . 5 ⊢ (B ≺ C ↔ (B ≼ C ⋀ ¬ B ≈ C))
12		brsdom 4372	. . . . 5 ⊢ (A ≺ C ↔ (A ≼ C ⋀ ¬ A ≈ C))
13	10, 11, 12	3imtr4g 552	. . . 4 ⊢ ((B ∈ V ⋀ A ≈ B) → (B ≺ C → A ≺ C))
14	13	ex 373	. . 3 ⊢ (B ∈ V → (A ≈ B → (B ≺ C → A ≺ C)))
15	14	imp3a 361	. 2 ⊢ (B ∈ V → ((A ≈ B ⋀ B ≺ C) → A ≺ C))
16		relsdom 4365	. . . . . 6 ⊢ Rel ≺
17	16	brrelexi 3204	. . . . 5 ⊢ (B ≺ C → B ∈ V)
18	17	con3i 98	. . . 4 ⊢ (¬ B ∈ V → ¬ B ≺ C)
19	18	pm2.21d 78	. . 3 ⊢ (¬ B ∈ V → (B ≺ C → A ≺ C))
20	19	adantld 390	. 2 ⊢ (¬ B ∈ V → ((A ≈ B ⋀ B ≺ C) → A ≺ C))
21	15, 20	pm2.61i 126	1 ⊢ ((A ≈ B ⋀ B ≺ C) → A ≺ C)

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ⋀ wa 223   ∈ wcel 957  Vcvv 1808   class class class wbr 2615   ≈ cen 4357   ≼ cdom 4358   ≺ csdm 4359

This theorem is referenced by:  sdomen1 4470  isfinite2 4532  pm54.43 4555  alephordi 4857  resdomq 7510  aleph1re 7511  infdif 7528  infpss 7534  aleph1irr 7538

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-er 4254  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362

Copyright terms: Public domain