MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ensdomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ensdomtr 8040
Description: Transitivity of equinumerosity and strict dominance. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ensdomtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem ensdomtr
StepHypRef Expression
1 endom 7926 . 2 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
2 domsdomtr 8039 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan 488 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   class class class wbr 4613  cen 7896  cdom 7897  csdm 7898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902
This theorem is referenced by:  sdomen1  8048  sucxpdom  8113  f1finf1o  8131  findcard3  8147  isfinite2  8162  pm54.43  8770  infxpenlem  8780  alephnbtwn2  8839  alephordi  8841  alephsucdom  8846  pwsdompw  8970  infunsdom1  8979  cflim2  9029  fin23lem27  9094  cfpwsdom  9350  inawinalem  9455  inar1  9541  tskcard  9547  tskuni  9549  rpnnen  14881  resdomq  14898  aleph1re  14899  aleph1irr  14900  1nprm  15316
  Copyright terms: Public domain W3C validator