Theorem ensym 8552

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensym	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem ensym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymb 8551	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴)
2	1	biimpi 218	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   class class class wbr 5058   ≈ cen 8500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-er 8283  df-en 8504

This theorem is referenced by:  ensymi  8553  ensymd  8554  sbthb  8632  domnsym  8637  sdomdomtr  8644  domsdomtr  8646  enen1  8651  enen2  8652  domen1  8653  domen2  8654  sdomen1  8655  sdomen2  8656  domtriord  8657  xpen  8674  pwen  8684  nneneq  8694  php2  8696  php3  8697  phpeqd  8700  ominf  8724  fineqvlem  8726  en1eqsn  8742  dif1en  8745  enp1i  8747  findcard3  8755  isfinite2  8770  nnsdomg  8771  domunfican  8785  infcntss  8786  fiint  8789  wdomen1  9034  wdomen2  9035  unxpwdom2  9046  karden  9318  finnum  9371  carden2b  9390  fidomtri2  9417  cardmin2  9421  pr2ne  9425  en2eleq  9428  infxpenlem  9433  acnen  9473  acnen2  9475  infpwfien  9482  alephordi  9494  alephinit  9515  dfac12lem2  9564  dfac12r  9566  undjudom  9587  djucomen  9597  djuinf  9608  pwsdompw  9620  infmap2  9634  ackbij1b  9655  cflim2  9679  fin4en1  9725  domfin4  9727  fin23lem25  9740  fin23lem23  9742  enfin1ai  9800  fin67  9811  isfin7-2  9812  fin1a2lem11  9826  axcc2lem  9852  axcclem  9873  numthcor  9910  carden  9967  sdomsdomcard  9976  canthnum  10065  canthwe  10067  canthp1lem2  10069  canthp1  10070  pwxpndom2  10081  gchdjuidm  10084  gchxpidm  10085  gchpwdom  10086  inawinalem  10105  grudomon  10233  isfinite4  13717  hashfn  13730  ramub2  16344  dfod2  18685  sylow2blem1  18739  znhash  20699  hauspwdom  22103  rectbntr0  23434  ovolctb  24085  dyadmbl  24195  eupthfi  27978  derangen  32414  finminlem  33661  domalom  34679  phpreu  34870  pellexlem4  39422  pellexlem5  39423  pellex  39425