Theorem ensym 7869

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensym	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem ensym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymb 7868	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴)
2	1	biimpi 205	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   class class class wbr 4578   ≈ cen 7816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-er 7607  df-en 7820

This theorem is referenced by:  ensymi  7870  ensymd  7871  sbthb  7944  domnsym  7949  sdomdomtr  7956  domsdomtr  7958  enen1  7963  enen2  7964  domen1  7965  domen2  7966  sdomen1  7967  sdomen2  7968  domtriord  7969  xpen  7986  pwen  7996  nneneq  8006  php2  8008  php3  8009  ominf  8035  fineqvlem  8037  en1eqsn  8053  dif1en  8056  enp1i  8058  findcard3  8066  isfinite2  8081  nnsdomg  8082  domunfican  8096  infcntss  8097  fiint  8100  wdomen1  8342  wdomen2  8343  unxpwdom2  8354  karden  8619  finnum  8635  carden2b  8654  fidomtri2  8681  cardmin2  8685  pr2ne  8689  en2eleq  8692  infxpenlem  8697  acnen  8737  acnen2  8739  infpwfien  8746  alephordi  8758  alephinit  8779  dfac12lem2  8827  dfac12r  8829  uncdadom  8854  cdacomen  8864  cdainf  8875  pwsdompw  8887  infmap2  8901  ackbij1b  8922  cflim2  8946  fin4en1  8992  domfin4  8994  fin23lem25  9007  fin23lem23  9009  enfin1ai  9067  fin67  9078  isfin7-2  9079  fin1a2lem11  9093  axcc2lem  9119  axcclem  9140  numthcor  9177  carden  9230  sdomsdomcard  9239  canthnum  9328  canthwe  9330  canthp1lem2  9332  canthp1  9333  pwxpndom2  9344  gchcdaidm  9347  gchxpidm  9348  gchpwdom  9349  inawinalem  9368  grudomon  9496  isfinite4  12969  hashfn  12980  isprm2lem  15181  ramub2  15505  dfod2  17753  sylow2blem1  17807  znhash  19674  hauspwdom  21062  rectbntr0  22391  ovolctb  23010  dyadmbl  23119  eupafi  26292  derangen  30202  finminlem  31276  phpreu  32357  pellexlem4  36208  pellexlem5  36209  pellex  36211  eupthfi  41365