MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem entr 7871
Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
entr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem entr
StepHypRef Expression
1 ener 7865 . . . 4 ≈ Er V
21a1i 11 . . 3 (⊤ → ≈ Er V)
32ertr 7621 . 2 (⊤ → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
43trud 1483 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wtru 1475  Vcvv 3172   class class class wbr 4577   Er wer 7603  cen 7815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-er 7606  df-en 7819
This theorem is referenced by:  entri  7873  en2sn  7899  xpsnen2g  7915  omxpen  7924  enen1  7962  enen2  7963  map2xp  7992  pwen  7995  ssenen  7996  phplem4  8004  php3  8008  snnen2o  8011  fineqvlem  8036  ssfi  8042  en1eqsn  8052  dif1en  8055  unfi  8089  unxpwdom2  8353  infdifsn  8414  infdiffi  8415  karden  8618  xpnum  8637  cardidm  8645  ficardom  8647  carden2a  8652  carden2b  8653  isinffi  8678  pm54.43  8686  pr2ne  8688  en2eqpr  8690  en2eleq  8691  infxpenlem  8696  infxpidm2  8700  mappwen  8795  finnisoeu  8796  cdaen  8855  cdaenun  8856  cda1dif  8858  cdaassen  8864  mapcdaen  8866  pwcdaen  8867  infcda1  8875  pwcdaidm  8877  cardacda  8880  ficardun  8884  pwsdompw  8886  infxp  8897  infmap2  8900  ackbij1lem5  8906  ackbij1lem9  8910  ackbij1b  8921  fin4en1  8991  isfin4-3  8997  fin23lem23  9008  domtriomlem  9124  axcclem  9139  carden  9229  alephadd  9255  gchcdaidm  9346  gchxpidm  9347  gchpwdom  9348  gchhar  9357  tskuni  9461  fzen2  12585  isprm2lem  15178  hashdvds  15264  unbenlem  15396  unben  15397  4sqlem11  15443  pmtrfconj  17655  psgnunilem1  17682  odinf  17749  dfod2  17750  sylow2blem1  17804  sylow2  17810  frlmisfrlm  19948  hmphindis  21352  dyadmbl  23091  padct  28691  f1ocnt  28752  volmeas  29427  sconpi1  30281  lzenom  36154  fiphp3d  36204  frlmpwfi  36489  isnumbasgrplem3  36497  fiuneneq  36597  rp-isfinite5  36685  enrelmap  37114  enrelmapr  37115  enmappw  37116
  Copyright terms: Public domain W3C validator