MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem entr 8550
Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
entr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem entr
StepHypRef Expression
1 ener 8545 . . . 4 ≈ Er V
21a1i 11 . . 3 (⊤ → ≈ Er V)
32ertr 8294 . 2 (⊤ → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
43mptru 1535 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wtru 1529  Vcvv 3495   class class class wbr 5058   Er wer 8276  cen 8495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-er 8279  df-en 8499
This theorem is referenced by:  entri  8552  snmapen1  8580  en2sn  8582  xpsnen2g  8599  omxpen  8608  enen1  8646  enen2  8647  map2xp  8676  pwen  8679  ssenen  8680  phplem4  8688  php3  8692  snnen2o  8696  fineqvlem  8721  ssfi  8727  en1eqsn  8737  dif1en  8740  unfi  8774  unxpwdom2  9041  infdifsn  9109  infdiffi  9110  karden  9313  xpnum  9369  cardidm  9377  ficardom  9379  carden2a  9384  carden2b  9385  isinffi  9410  pm54.43  9418  pr2ne  9420  en2eqpr  9422  en2eleq  9423  infxpenlem  9428  infxpidm2  9432  mappwen  9527  finnisoeu  9528  djuen  9584  djuenun  9585  dju1dif  9587  djuassen  9593  mapdjuen  9595  pwdjuen  9596  infdju1  9604  pwdju1  9605  pwdjuidm  9606  cardadju  9609  ficardun  9613  pwsdompw  9615  infxp  9626  infmap2  9629  ackbij1lem5  9635  ackbij1lem9  9639  ackbij1b  9650  fin4en1  9720  isfin4p1  9726  fin23lem23  9737  domtriomlem  9853  axcclem  9868  carden  9962  alephadd  9988  gchdjuidm  10079  gchxpidm  10080  gchpwdom  10081  gchhar  10090  tskuni  10194  fzen2  13327  hashdvds  16102  unbenlem  16234  unben  16235  4sqlem11  16281  pmtrfconj  18525  psgnunilem1  18552  odinf  18621  dfod2  18622  sylow2blem1  18676  sylow2  18682  simpgnsgd  19153  frlmisfrlm  20922  hmphindis  22335  dyadmbl  24130  fnpreimac  30345  padct  30382  f1ocnt  30452  volmeas  31390  sconnpi1  32384  lzenom  39247  fiphp3d  39296  frlmpwfi  39578  isnumbasgrplem3  39585  fiuneneq  39677  rp-isfinite5  39763  enrelmap  40223  enrelmapr  40224  enmappw  40225  uspgrymrelen  43875
  Copyright terms: Public domain W3C validator