Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  epee Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem epee 40901
 Description: The sum of two even numbers is even. (Contributed by AV, 21-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
epee ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )

Proof of Theorem epee
StepHypRef Expression
1 evenp1odd 40840 . . 3 (𝐴 ∈ Even → (𝐴 + 1) ∈ Odd )
2 evenm1odd 40839 . . 3 (𝐵 ∈ Even → (𝐵 − 1) ∈ Odd )
3 opoeALTV 40881 . . 3 (((𝐴 + 1) ∈ Odd ∧ (𝐵 − 1) ∈ Odd ) → ((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) ∈ Even )
41, 2, 3syl2an 494 . 2 ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → ((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) ∈ Even )
5 evenz 40830 . . . . 5 (𝐴 ∈ Even → 𝐴 ∈ ℤ)
65zcnd 11427 . . . 4 (𝐴 ∈ Even → 𝐴 ∈ ℂ)
76adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 1cnd 10001 . . 3 ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → 1 ∈ ℂ)
9 evenz 40830 . . . . 5 (𝐵 ∈ Even → 𝐵 ∈ ℤ)
109zcnd 11427 . . . 4 (𝐵 ∈ Even → 𝐵 ∈ ℂ)
1110adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → 𝐵 ∈ ℂ)
12 ppncan 10268 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) = (𝐴 + 𝐵))
1312eleq1d 2688 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) ∈ Even ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ))
147, 8, 11, 13syl3anc 1323 . 2 ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (((𝐴 + 1) + (𝐵 − 1)) ∈ Even ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ))
154, 14mpbid 222 1 ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   ∈ wcel 1992  (class class class)co 6605  ℂcc 9879  1c1 9882   + caddc 9884   − cmin 10211   Even ceven 40824   Odd codd 40825 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-even 40826  df-odd 40827 This theorem is referenced by:  emee  40902  evensumeven  40903  bgoldbtbndlem1  40970
 Copyright terms: Public domain W3C validator