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Theorem epfrs 8552
Description: The strong form of the Axiom of Regularity (no sethood requirement on 𝐴), with the axiom itself present as an antecedent. See also zfregs 8553. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
epfrs (( E Fr 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem epfrs
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3912 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
2 snssi 4313 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐴 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
32anim2i 592 . . . . . . . . . . 11 (({𝑧} ⊆ 𝑦𝑧𝐴) → ({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴))
4 ssin 3818 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ {𝑧} ⊆ (𝑦𝐴))
5 vex 3194 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
65snss 4291 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑦𝐴) ↔ {𝑧} ⊆ (𝑦𝐴))
74, 6bitr4i 267 . . . . . . . . . . 11 (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ 𝑧 ∈ (𝑦𝐴))
83, 7sylib 208 . . . . . . . . . 10 (({𝑧} ⊆ 𝑦𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐴))
9 ne0i 3902 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑦𝐴) → (𝑦𝐴) ≠ ∅)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (({𝑧} ⊆ 𝑦𝑧𝐴) → (𝑦𝐴) ≠ ∅)
11 inss2 3817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴) ⊆ 𝐴
12 vex 3194 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ∈ V
1312inex1 4764 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴) ∈ V
1413epfrc 5065 . . . . . . . . . . . 12 (( E Fr 𝐴 ∧ (𝑦𝐴) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑦𝐴)((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)
1511, 14mp3an2 1409 . . . . . . . . . . 11 (( E Fr 𝐴 ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑦𝐴)((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)
16 elin 3779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑦𝐴) ↔ (𝑥𝑦𝑥𝐴))
1716anbi1i 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (𝑦𝐴) ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ ((𝑥𝑦𝑥𝐴) ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅))
18 anass 680 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝑦𝑥𝐴) ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ (𝑥𝑦 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)))
1917, 18bitri 264 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝑦𝐴) ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ (𝑥𝑦 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)))
20 n0 3912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑥𝐴))
21 inss1 3816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥𝐴) ⊆ 𝑥
2221sseli 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → 𝑤𝑥)
2322ancri 574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → (𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝑥𝐴)))
24 trel 4724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Tr 𝑦 → ((𝑤𝑥𝑥𝑦) → 𝑤𝑦))
25 inass 3806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴𝑥))
26 incom 3788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐴𝑥) = (𝑥𝐴)
2726ineq2i 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∩ (𝐴𝑥)) = (𝑦 ∩ (𝑥𝐴))
2825, 27eqtri 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝑥𝐴))
2928eleq2i 2696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∈ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ↔ 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ (𝑥𝐴)))
30 elin 3779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∈ (𝑦 ∩ (𝑥𝐴)) ↔ (𝑤𝑦𝑤 ∈ (𝑥𝐴)))
3129, 30bitr2i 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑤𝑦𝑤 ∈ (𝑥𝐴)) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥))
32 ne0i 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)
3331, 32sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑤𝑦𝑤 ∈ (𝑥𝐴)) → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)
3433ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤𝑦 → (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))
3524, 34syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Tr 𝑦 → ((𝑤𝑥𝑥𝑦) → (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
3635expd 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Tr 𝑦 → (𝑤𝑥 → (𝑥𝑦 → (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))))
3736com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Tr 𝑦 → (𝑤𝑥 → (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))))
3837impd 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Tr 𝑦 → ((𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝑥𝐴)) → (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
3923, 38syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Tr 𝑦 → (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
4039exlimdv 1863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Tr 𝑦 → (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
4120, 40syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Tr 𝑦 → ((𝑥𝐴) ≠ ∅ → (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
4241com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Tr 𝑦 → (𝑥𝑦 → ((𝑥𝐴) ≠ ∅ → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
4342imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Tr 𝑦𝑥𝑦) → ((𝑥𝐴) ≠ ∅ → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))
4443necon4d 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Tr 𝑦𝑥𝑦) → (((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅ → (𝑥𝐴) = ∅))
4544anim2d 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Tr 𝑦𝑥𝑦) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) → (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝐴) = ∅)))
4645expimpd 628 . . . . . . . . . . . . 13 (Tr 𝑦 → ((𝑥𝑦 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)) → (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝐴) = ∅)))
4719, 46syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 (Tr 𝑦 → ((𝑥 ∈ (𝑦𝐴) ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) → (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝐴) = ∅)))
4847reximdv2 3013 . . . . . . . . . . 11 (Tr 𝑦 → (∃𝑥 ∈ (𝑦𝐴)((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅ → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))
4915, 48syl5 34 . . . . . . . . . 10 (Tr 𝑦 → (( E Fr 𝐴 ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))
5049expcomd 454 . . . . . . . . 9 (Tr 𝑦 → ((𝑦𝐴) ≠ ∅ → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)))
5110, 50syl5 34 . . . . . . . 8 (Tr 𝑦 → (({𝑧} ⊆ 𝑦𝑧𝐴) → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)))
5251expd 452 . . . . . . 7 (Tr 𝑦 → ({𝑧} ⊆ 𝑦 → (𝑧𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))))
5352impcom 446 . . . . . 6 (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → (𝑧𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)))
54533adant3 1079 . . . . 5 (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑤(({𝑧} ⊆ 𝑤 ∧ Tr 𝑤) → 𝑦𝑤)) → (𝑧𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)))
55 snex 4874 . . . . . 6 {𝑧} ∈ V
5655tz9.1 8550 . . . . 5 𝑦({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑤(({𝑧} ⊆ 𝑤 ∧ Tr 𝑤) → 𝑦𝑤))
5754, 56exlimiiv 1861 . . . 4 (𝑧𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))
5857exlimiv 1860 . . 3 (∃𝑧 𝑧𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))
591, 58sylbi 207 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))
6059impcom 446 1 (( E Fr 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036  wal 1478   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1992  wne 2796  wrex 2913  cin 3559  wss 3560  c0 3896  {csn 4153  Tr wtr 4717   E cep 4988   Fr wfr 5035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452
This theorem is referenced by:  zfregs  8553
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