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Theorem epfrs 9161
Description: The strong form of the Axiom of Regularity (no sethood requirement on 𝐴), with the axiom itself present as an antecedent. See also zfregs 9162. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
epfrs (( E Fr 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem epfrs
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4307 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
2 snssi 4733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐴 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
32anim2i 616 . . . . . . . . . . 11 (({𝑧} ⊆ 𝑦𝑧𝐴) → ({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴))
4 ssin 4204 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ {𝑧} ⊆ (𝑦𝐴))
5 vex 3495 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
65snss 4710 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑦𝐴) ↔ {𝑧} ⊆ (𝑦𝐴))
74, 6bitr4i 279 . . . . . . . . . . 11 (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ 𝑧 ∈ (𝑦𝐴))
83, 7sylib 219 . . . . . . . . . 10 (({𝑧} ⊆ 𝑦𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐴))
98ne0d 4298 . . . . . . . . 9 (({𝑧} ⊆ 𝑦𝑧𝐴) → (𝑦𝐴) ≠ ∅)
10 inss2 4203 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴) ⊆ 𝐴
11 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ∈ V
1211inex1 5212 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴) ∈ V
1312epfrc 5534 . . . . . . . . . . . 12 (( E Fr 𝐴 ∧ (𝑦𝐴) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑦𝐴)((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)
1410, 13mp3an2 1440 . . . . . . . . . . 11 (( E Fr 𝐴 ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑦𝐴)((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)
15 elin 4166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑦𝐴) ↔ (𝑥𝑦𝑥𝐴))
1615anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (𝑦𝐴) ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ ((𝑥𝑦𝑥𝐴) ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅))
17 anass 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝑦𝑥𝐴) ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ (𝑥𝑦 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)))
1816, 17bitri 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝑦𝐴) ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ (𝑥𝑦 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)))
19 n0 4307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑥𝐴))
20 elinel1 4169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → 𝑤𝑥)
2120ancri 550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → (𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝑥𝐴)))
22 trel 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Tr 𝑦 → ((𝑤𝑥𝑥𝑦) → 𝑤𝑦))
23 inass 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴𝑥))
24 incom 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐴𝑥) = (𝑥𝐴)
2524ineq2i 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∩ (𝐴𝑥)) = (𝑦 ∩ (𝑥𝐴))
2623, 25eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝑥𝐴))
2726eleq2i 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∈ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ↔ 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ (𝑥𝐴)))
28 elin 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∈ (𝑦 ∩ (𝑥𝐴)) ↔ (𝑤𝑦𝑤 ∈ (𝑥𝐴)))
2927, 28bitr2i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑤𝑦𝑤 ∈ (𝑥𝐴)) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥))
30 ne0i 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)
3129, 30sylbi 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑤𝑦𝑤 ∈ (𝑥𝐴)) → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)
3231ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤𝑦 → (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))
3322, 32syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Tr 𝑦 → ((𝑤𝑥𝑥𝑦) → (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
3433expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Tr 𝑦 → (𝑤𝑥 → (𝑥𝑦 → (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))))
3534com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Tr 𝑦 → (𝑤𝑥 → (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))))
3635impd 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Tr 𝑦 → ((𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝑥𝐴)) → (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
3721, 36syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Tr 𝑦 → (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
3837exlimdv 1925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Tr 𝑦 → (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
3919, 38syl5bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Tr 𝑦 → ((𝑥𝐴) ≠ ∅ → (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
4039com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Tr 𝑦 → (𝑥𝑦 → ((𝑥𝐴) ≠ ∅ → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
4140imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Tr 𝑦𝑥𝑦) → ((𝑥𝐴) ≠ ∅ → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))
4241necon4d 3037 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Tr 𝑦𝑥𝑦) → (((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅ → (𝑥𝐴) = ∅))
4342anim2d 611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Tr 𝑦𝑥𝑦) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) → (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝐴) = ∅)))
4443expimpd 454 . . . . . . . . . . . . 13 (Tr 𝑦 → ((𝑥𝑦 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)) → (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝐴) = ∅)))
4518, 44syl5bi 243 . . . . . . . . . . . 12 (Tr 𝑦 → ((𝑥 ∈ (𝑦𝐴) ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) → (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝐴) = ∅)))
4645reximdv2 3268 . . . . . . . . . . 11 (Tr 𝑦 → (∃𝑥 ∈ (𝑦𝐴)((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅ → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))
4714, 46syl5 34 . . . . . . . . . 10 (Tr 𝑦 → (( E Fr 𝐴 ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))
4847expcomd 417 . . . . . . . . 9 (Tr 𝑦 → ((𝑦𝐴) ≠ ∅ → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)))
499, 48syl5 34 . . . . . . . 8 (Tr 𝑦 → (({𝑧} ⊆ 𝑦𝑧𝐴) → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)))
5049expd 416 . . . . . . 7 (Tr 𝑦 → ({𝑧} ⊆ 𝑦 → (𝑧𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))))
5150impcom 408 . . . . . 6 (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → (𝑧𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)))
52513adant3 1124 . . . . 5 (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑤(({𝑧} ⊆ 𝑤 ∧ Tr 𝑤) → 𝑦𝑤)) → (𝑧𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)))
53 snex 5322 . . . . . 6 {𝑧} ∈ V
5453tz9.1 9159 . . . . 5 𝑦({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑤(({𝑧} ⊆ 𝑤 ∧ Tr 𝑤) → 𝑦𝑤))
5552, 54exlimiiv 1923 . . . 4 (𝑧𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))
5655exlimiv 1922 . . 3 (∃𝑧 𝑧𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))
571, 56sylbi 218 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))
5857impcom 408 1 (( E Fr 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079  wal 1526   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  cin 3932  wss 3933  c0 4288  {csn 4557  Tr wtr 5163   E cep 5457   Fr wfr 5504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035
This theorem is referenced by:  zfregs  9162
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