MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqfnfvd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqfnfvd 6270
Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqfnfvd.1 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
eqfnfvd.2 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
eqfnfvd.3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
eqfnfvd (𝜑𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eqfnfvd
StepHypRef Expression
1 eqfnfvd.3 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
21ralrimiva 2960 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3 eqfnfvd.1 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
4 eqfnfvd.2 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
5 eqfnfv 6267 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
63, 4, 5syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
72, 6mpbird 247 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907   Fn wfn 5842  cfv 5847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-fv 5855
This theorem is referenced by:  foeqcnvco  6509  f1eqcocnv  6510  offveq  6871  tfrlem1  7417  ackbij2lem2  9006  ackbij2lem3  9007  fpwwe2lem8  9403  seqfeq2  12764  seqfeq  12766  seqfeq3  12791  ccatlid  13308  ccatrid  13309  ccatass  13310  swrdid  13366  ccatswrd  13394  swrdccat1  13395  swrdccat2  13396  swrdswrd  13398  cats1un  13413  swrdccatin1  13420  swrdccatin2  13424  swrdccatin12  13428  revccat  13452  revrev  13453  cshco  13519  swrdco  13520  seqshft  13759  seq1st  15208  xpsfeq  16145  yonedainv  16842  pwsco1mhm  17291  f1otrspeq  17788  pmtrfinv  17802  symgtrinv  17813  frgpup3lem  18111  ablfac1eu  18393  psrlidm  19322  psrridm  19323  psrass1  19324  subrgascl  19417  evlslem1  19434  psgndiflemB  19865  frlmup1  20056  frlmup3  20058  frlmup4  20059  mavmulass  20274  upxp  21336  uptx  21338  cnextfres1  21782  ovolshftlem1  23184  volsup  23231  dvidlem  23585  dvrec  23624  dveq0  23667  dv11cn  23668  ftc1cn  23710  coemulc  23915  aannenlem1  23987  ulmuni  24050  ulmdv  24061  ostthlem1  25216  nvinvfval  27341  sspn  27437  kbass2  28822  xppreima2  29289  psgnfzto1stlem  29632  indpreima  29865  esumcvg  29926  signstres  30429  subfacp1lem4  30870  cvmliftmolem2  30969  msubff1  31158  iprodefisumlem  31331  poimirlem8  33046  poimirlem13  33051  poimirlem14  33052  ftc1cnnc  33113  eqlkr3  33865  cdleme51finvN  35321  ismrcd2  36739  rfovcnvf1od  37777  dssmapntrcls  37905  dvconstbi  38012  fsumsermpt  39212  icccncfext  39401  voliooicof  39517  etransclem35  39790  rrxsnicc  39824  ovolval4lem1  40167  ccatpfx  40705  pfxccat1  40706  pfxccatin12  40721  zrinitorngc  41285  zrtermorngc  41286  zrtermoringc  41355
  Copyright terms: Public domain W3C validator