MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqle 10084
Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
eqle ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem eqle
StepHypRef Expression
1 leid 10078 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴𝐴)
2 breq2 4622 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐴𝐴𝐵))
32biimpac 503 . 2 ((𝐴𝐴𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
41, 3sylan 488 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992   class class class wbr 4618  cr 9880  cle 10020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-pre-lttri 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025
This theorem is referenced by:  eqled  10085  sqrtneglem  13936  leabs  13968  cjcn2  14259  abscvgcvg  14473  dvlip  23655  dvfsumlem3  23690  dvradcnv  24074  ppip1le  24782  dchrvmasumiflem2  25086  dchrisum0lem3  25103  rplogsum  25111  mudivsum  25114  nmlno0lem  27488  nmblolbii  27494  nmlnop0iALT  28694  nmbdoplbi  28723  nmcoplbi  28727  nmbdfnlbi  28748  nmcfnlbi  28751  pjnmopi  28847  areacirc  33123  dvconstbi  38001  binomcxplemnn0  38016  pfxsuffeqwrdeq  40693
  Copyright terms: Public domain W3C validator