MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqord1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqord1 10516
Description: Infer an ordering relation from a proof in only one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ltord.1 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
ltord.2 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
ltord.3 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
ltord.4 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐵))
Assertion
Ref Expression
eqord1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem eqord1
StepHypRef Expression
1 ltord.1 . . . 4 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
2 ltord.2 . . . 4 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
3 ltord.3 . . . 4 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
4 ltord.4 . . . 4 𝑆 ⊆ ℝ
5 ltord.5 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 ltord.6 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐵))
71, 2, 3, 4, 5, 6leord1 10515 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶𝐷𝑀𝑁))
81, 3, 2, 4, 5, 6leord1 10515 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑆𝐶𝑆)) → (𝐷𝐶𝑁𝑀))
98ancom2s 843 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐷𝐶𝑁𝑀))
107, 9anbi12d 746 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ((𝐶𝐷𝐷𝐶) ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
114sseli 3584 . . . 4 (𝐶𝑆𝐶 ∈ ℝ)
124sseli 3584 . . . 4 (𝐷𝑆𝐷 ∈ ℝ)
13 letri3 10083 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 = 𝐷 ↔ (𝐶𝐷𝐷𝐶)))
1411, 12, 13syl2an 494 . . 3 ((𝐶𝑆𝐷𝑆) → (𝐶 = 𝐷 ↔ (𝐶𝐷𝐷𝐶)))
1514adantl 482 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 = 𝐷 ↔ (𝐶𝐷𝐷𝐶)))
165ralrimiva 2962 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
172eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
1817rspccva 3298 . . . . 5 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
1916, 18sylan 488 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
2019adantrr 752 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑀 ∈ ℝ)
213eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
2221rspccva 3298 . . . . 5 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2316, 22sylan 488 . . . 4 ((𝜑𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2423adantrl 751 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2520, 24letri3d 10139 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
2610, 15, 253bitr4d 300 1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  wss 3560   class class class wbr 4623  cr 9895   < clt 10034  cle 10035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040
This theorem is referenced by:  eqord2  10519  expcan  12869  ovolicc2lem3  23227  rmyeq0  37039  rmyeq  37040
  Copyright terms: Public domain W3C validator