MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqs1 13331
Description: A word of length 1 is a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
eqs1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (#‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Proof of Theorem eqs1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (#‘𝑊) = 1) → (#‘𝑊) = 1)
2 s1len 13324 . . 3 (#‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1
31, 2syl6eqr 2673 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (#‘𝑊) = 1) → (#‘𝑊) = (#‘⟨“(𝑊‘0)”⟩))
4 fvex 6158 . . . . 5 (𝑊‘0) ∈ V
5 s1fv 13329 . . . . . 6 ((𝑊‘0) ∈ V → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0))
65eqcomd 2627 . . . . 5 ((𝑊‘0) ∈ V → (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
74, 6mp1i 13 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (#‘𝑊) = 1) → (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
8 c0ex 9978 . . . . 5 0 ∈ V
9 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑊𝑥) = (𝑊‘0))
10 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
119, 10eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0)))
128, 11ralsn 4193 . . . 4 (∀𝑥 ∈ {0} (𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
137, 12sylibr 224 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (#‘𝑊) = 1) → ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
14 oveq2 6612 . . . . . 6 ((#‘𝑊) = 1 → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^1))
1514adantl 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (#‘𝑊) = 1) → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^1))
16 fzo01 12491 . . . . 5 (0..^1) = {0}
1715, 16syl6eq 2671 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (#‘𝑊) = 1) → (0..^(#‘𝑊)) = {0})
1817raleqdv 3133 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (#‘𝑊) = 1) → (∀𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
1913, 18mpbird 247 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (#‘𝑊) = 1) → ∀𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
20 1nn 10975 . . . . 5 1 ∈ ℕ
21 fstwrdne0 13284 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (#‘𝑊) = 1)) → (𝑊‘0) ∈ 𝐴)
2220, 21mpan 705 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (#‘𝑊) = 1) → (𝑊‘0) ∈ 𝐴)
2322s1cld 13322 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (#‘𝑊) = 1) → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝐴)
24 eqwrd 13285 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝐴) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((#‘𝑊) = (#‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
2523, 24syldan 487 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (#‘𝑊) = 1) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((#‘𝑊) = (#‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
263, 19, 25mpbir2and 956 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (#‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  {csn 4148  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881  cn 10964  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230  ⟨“cs1 13233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-s1 13241
This theorem is referenced by:  wrdl1exs1  13332  wrdl1s1  13333  swrds1  13389  revs1  13451  signsvtn0  30427
  Copyright terms: Public domain W3C validator