MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqs1 13954
Description: A word of length 1 is a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
eqs1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Proof of Theorem eqs1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5 ((♯‘𝑊) = 1 → (♯‘𝑊) = 1)
2 s1len 13948 . . . . 5 (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1
31, 2syl6eqr 2871 . . . 4 ((♯‘𝑊) = 1 → (♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩))
4 fvex 6676 . . . . . . . 8 (𝑊‘0) ∈ V
5 s1fv 13952 . . . . . . . 8 ((𝑊‘0) ∈ V → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0))
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0)
76eqcomi 2827 . . . . . 6 (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0)
8 c0ex 10623 . . . . . . 7 0 ∈ V
9 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑊𝑥) = (𝑊‘0))
10 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
119, 10eqeq12d 2834 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0)))
128, 11ralsn 4611 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ {0} (𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
137, 12mpbir 232 . . . . 5 𝑥 ∈ {0} (𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)
14 oveq2 7153 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^1))
15 fzo01 13107 . . . . . . 7 (0..^1) = {0}
1614, 15syl6eq 2869 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = {0})
1716raleqdv 3413 . . . . 5 ((♯‘𝑊) = 1 → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
1813, 17mpbiri 259 . . . 4 ((♯‘𝑊) = 1 → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
193, 18jca 512 . . 3 ((♯‘𝑊) = 1 → ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
20 s1cli 13947 . . . 4 ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V
21 eqwrd 13897 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
2220, 21mpan2 687 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
2319, 22syl5ibr 247 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑊) = 1 → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩))
2423imp 407 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  Vcvv 3492  {csn 4557  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526  ..^cfzo 13021  chash 13678  Word cword 13849  ⟨“cs1 13937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-s1 13938
This theorem is referenced by:  wrdl1exs1  13955  wrdl1s1  13956  swrds1  14016  revs1  14115  signsvtn0  31739
  Copyright terms: Public domain W3C validator