MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqsqrt2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqsqrt2d 13899
Description: A deduction for showing that a number equals the square root of another. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqsqrd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
eqsqrd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
eqsqrd.3 (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
eqsqr2d.4 (𝜑 → 0 < (ℜ‘𝐴))
Assertion
Ref Expression
eqsqrt2d (𝜑𝐴 = (√‘𝐵))

Proof of Theorem eqsqrt2d
StepHypRef Expression
1 eqsqrd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 eqsqrd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 eqsqrd.3 . 2 (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
4 eqsqr2d.4 . . 3 (𝜑 → 0 < (ℜ‘𝐴))
5 0re 9893 . . . 4 0 ∈ ℝ
61recld 13725 . . . 4 (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
7 ltle 9974 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℜ‘𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
85, 6, 7sylancr 693 . . 3 (𝜑 → (0 < (ℜ‘𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
94, 8mpd 15 . 2 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
10 reim 13640 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
111, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
124gt0ne0d 10438 . . . 4 (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
1311, 12eqnetrrd 2846 . . 3 (𝜑 → (ℑ‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
14 rpre 11668 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
1514reim0d 13756 . . . 4 ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0)
1615necon3ai 2803 . . 3 ((ℑ‘(i · 𝐴)) ≠ 0 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
1713, 16syl 17 . 2 (𝜑 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
181, 2, 3, 9, 17eqsqrtd 13898 1 (𝜑𝐴 = (√‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776   class class class wbr 4574  cfv 5787  (class class class)co 6524  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789  ici 9791   · cmul 9794   < clt 9927  cle 9928  2c2 10914  +crp 11661  cexp 12674  cre 13628  cim 13629  csqrt 13764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-sup 8205  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-rp 11662  df-seq 12616  df-exp 12675  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767
This theorem is referenced by:  asinsin  24333
  Copyright terms: Public domain W3C validator