MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqsupd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqsupd 8909
Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
supmo.1 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
eqsupd.2 (𝜑𝐶𝐴)
eqsupd.3 ((𝜑𝑦𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝑦)
eqsupd.4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝐶)) → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)
Assertion
Ref Expression
eqsupd (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem eqsupd
StepHypRef Expression
1 eqsupd.2 . 2 (𝜑𝐶𝐴)
2 eqsupd.3 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝑦)
32ralrimiva 3179 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦)
4 eqsupd.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝐶)) → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)
54expr 457 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
65ralrimiva 3179 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
7 supmo.1 . . 3 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
87eqsup 8908 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
91, 3, 6, 8mp3and 1455 1 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136   class class class wbr 5057   Or wor 5466  supcsup 8892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-po 5467  df-so 5468  df-iota 6307  df-riota 7103  df-sup 8894
This theorem is referenced by:  supmax  8919  supiso  8927  dfgcd2  15882  esumpcvgval  31236  esum2d  31251  mblfinlem3  34812  mblfinlem4  34813  ismblfin  34814  itg2addnclem  34824  radcnvrat  40523
  Copyright terms: Public domain W3C validator