Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  equivbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem equivbnd 33560
Description: If the metric 𝑀 is "strongly finer" than 𝑁 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝑁(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝑀(𝑥, 𝑦)), then boundedness of 𝑀 implies boundedness of 𝑁. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then one is bounded iff the other is.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivbnd.1 (𝜑𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋))
equivbnd.2 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd.3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
equivbnd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
Assertion
Ref Expression
equivbnd (𝜑𝑁 ∈ (Bnd‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem equivbnd
Dummy variables 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 equivbnd.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
2 equivbnd.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋))
3 isbnd3b 33555 . . . . 5 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟))
43simprbi 480 . . . 4 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
52, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
6 equivbnd.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
76rpred 11857 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
8 remulcl 10006 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ)
97, 8sylan 488 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ)
10 bndmet 33551 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
112, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
1211adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
13 metcl 22118 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
14133expb 1264 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
1512, 14sylan 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
16 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
176ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
1815, 16, 17lemul2d 11901 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 ↔ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
19 equivbnd.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
2019adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
211adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
22 metcl 22118 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑁𝑦) ∈ ℝ)
23223expb 1264 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ∈ ℝ)
2421, 23sylan 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ∈ ℝ)
257ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
2625, 15remulcld 10055 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
279adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ)
28 letr 10116 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑁𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ) → (((𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ≤ (𝑅 · 𝑟)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
2924, 26, 27, 28syl3anc 1324 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ≤ (𝑅 · 𝑟)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
3020, 29mpand 710 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ≤ (𝑅 · 𝑟) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
3118, 30sylbid 230 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
3231ralimdvva 2961 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
33 breq2 4648 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝑅 · 𝑟) → ((𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠 ↔ (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
34332ralbidv 2986 . . . . . 6 (𝑠 = (𝑅 · 𝑟) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
3534rspcev 3304 . . . . 5 (((𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠)
369, 32, 35syl6an 567 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠))
3736rexlimdva 3027 . . 3 (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠))
385, 37mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠)
39 isbnd3b 33555 . 2 (𝑁 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠))
401, 38, 39sylanbrc 697 1 (𝜑𝑁 ∈ (Bnd‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  wrex 2910   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  cr 9920   · cmul 9926  cle 10060  +crp 11817  Metcme 19713  Bndcbnd 33537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-er 7727  df-ec 7729  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-2 11064  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-icc 12167  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-bnd 33549
This theorem is referenced by:  equivbnd2  33562
  Copyright terms: Public domain W3C validator