Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  equivbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem equivbnd2 33262
Description: If balls are totally bounded in the metric 𝑀, then balls are totally bounded in the equivalent metric 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivbnd2.1 (𝜑𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd2.2 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd2.3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
equivbnd2.4 (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
equivbnd2.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
equivbnd2.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
equivbnd2.7 𝐶 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))
equivbnd2.8 𝐷 = (𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))
equivbnd2.9 (𝜑 → (𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)))
Assertion
Ref Expression
equivbnd2 (𝜑 → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem equivbnd2
StepHypRef Expression
1 totbndbnd 33259 . 2 (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌))
2 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌))
3 equivbnd2.7 . . . . . . 7 𝐶 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))
4 equivbnd2.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
6 equivbnd2.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
7 equivbnd2.8 . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))
87bnd2lem 33261 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑌𝑋)
96, 8sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑌𝑋)
10 metres2 22108 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
115, 9, 10syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
123, 11syl5eqel 2702 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑌))
13 equivbnd2.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
1413adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑆 ∈ ℝ+)
159sselda 3588 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ 𝑥𝑌) → 𝑥𝑋)
169sselda 3588 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
1715, 16anim12dan 881 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝑋𝑦𝑋))
18 equivbnd2.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
1918adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
2017, 19syldan 487 . . . . . . 7 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
213oveqi 6628 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥(𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦)
22 ovres 6765 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑌𝑦𝑌) → (𝑥(𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
2321, 22syl5eq 2667 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑌𝑦𝑌) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
2423adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
257oveqi 6628 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥(𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦)
26 ovres 6765 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑌𝑦𝑌) → (𝑥(𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
2725, 26syl5eq 2667 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑌𝑦𝑌) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
2827adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
2928oveq2d 6631 . . . . . . 7 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑆 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
3020, 24, 293brtr4d 4655 . . . . . 6 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝐷𝑦)))
312, 12, 14, 30equivbnd 33260 . . . . 5 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌))
32 equivbnd2.9 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)))
3332biimpar 502 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌))
3431, 33syldan 487 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌))
35 bndmet 33251 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑌))
3635adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑌))
37 equivbnd2.3 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
3837adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
39 equivbnd2.5 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
4039adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
4117, 40syldan 487 . . . . 5 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
4224oveq2d 6631 . . . . 5 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑅 · (𝑥𝐶𝑦)) = (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
4341, 28, 423brtr4d 4655 . . . 4 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐶𝑦)))
4434, 36, 38, 43equivtotbnd 33248 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌))
4544ex 450 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌)))
461, 45impbid2 216 1 (𝜑 → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3560   class class class wbr 4623   × cxp 5082  cres 5086  cfv 5857  (class class class)co 6615   · cmul 9901  cle 10035  +crp 11792  Metcme 19672  TotBndctotbnd 33236  Bndcbnd 33237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-ec 7704  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-2 11039  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-icc 12140  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-totbnd 33238  df-bnd 33249
This theorem is referenced by:  rrntotbnd  33306
  Copyright terms: Public domain W3C validator