MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  equivcfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem equivcfil 23016
Description: If the metric 𝐷 is "strongly finer" than 𝐶 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝐶(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝐷(𝑥, 𝑦)), all the 𝐷-Cauchy filters are also 𝐶-Cauchy. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they have the same Cauchy sequences.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivcau.1 (𝜑𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
equivcau.2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
equivcau.3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
equivcau.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
equivcfil (𝜑 → (CauFil‘𝐷) ⊆ (CauFil‘𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem equivcfil
Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
2 equivcau.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
32ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
41, 3rpdivcld 11840 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+)
5 oveq2 6618 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))
65eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
76rexbidv 3046 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
87rspcv 3294 . . . . . . 7 ((𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+ → (∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
94, 8syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
10 simpllr 798 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
11 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘𝐶) = (MetOpen‘𝐶)
12 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
13 equivcau.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
14 equivcau.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15 equivcau.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
1611, 12, 13, 14, 2, 15metss2lem 22235 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
1716ancom2s 843 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
1817adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
1918anassrs 679 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
2013ad3antrrr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
21 metxmet 22058 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
23 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
24 rpxr 11791 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
2524ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑟 ∈ ℝ*)
26 blssm 22142 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋)
2722, 23, 25, 26syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋)
28 filss 21576 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)
29283exp2 1282 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → ((𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))))
3029com24 95 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) → ((𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))))
3110, 19, 27, 30syl3c 66 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
3231reximdva 3012 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
339, 32syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
3433ralrimdva 2964 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → (∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
3534imdistanda 728 . . 3 (𝜑 → ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓) → (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)))
36 metxmet 22058 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
37 iscfil3 22990 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓)))
3814, 36, 373syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓)))
39 iscfil3 22990 . . . 4 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐶) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)))
4013, 21, 393syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐶) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)))
4135, 38, 403imtr4d 283 . 2 (𝜑 → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝑓 ∈ (CauFil‘𝐶)))
4241ssrdv 3593 1 (𝜑 → (CauFil‘𝐷) ⊆ (CauFil‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  wss 3559   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610   · cmul 9892  *cxr 10024  cle 10026   / cdiv 10635  +crp 11783  ∞Metcxmt 19659  Metcme 19660  ballcbl 19661  MetOpencmopn 19664  Filcfil 21568  CauFilccfil 22969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-2 11030  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ico 12130  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-fbas 19671  df-fil 21569  df-cfil 22972
This theorem is referenced by:  equivcmet  23033
  Copyright terms: Public domain W3C validator