MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqwrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqwrd 13897
Description: Two words are equal iff they have the same length and the same symbol at each position. (Contributed by AV, 13-Apr-2018.) (Revised by JJ, 30-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
eqwrd ((𝑈 ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈𝑖) = (𝑊𝑖))))
Distinct variable groups:   𝑈,𝑖   𝑖,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝑇(𝑖)

Proof of Theorem eqwrd
StepHypRef Expression
1 wrdfn 13864 . . 3 (𝑈 ∈ Word 𝑆𝑈 Fn (0..^(♯‘𝑈)))
2 wrdfn 13864 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
3 eqfnfv2 6795 . . 3 ((𝑈 Fn (0..^(♯‘𝑈)) ∧ 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈𝑖) = (𝑊𝑖))))
41, 2, 3syl2an 595 . 2 ((𝑈 ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈𝑖) = (𝑊𝑖))))
5 fveq2 6663 . . . . 5 ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
6 lencl 13871 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
7 hashfzo0 13779 . . . . . . 7 ((♯‘𝑈) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘𝑈))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘𝑈))
9 lencl 13871 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10 hashfzo0 13779 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
128, 11eqeqan12d 2835 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) ↔ (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
135, 12syl5ib 245 . . . 4 ((𝑈 ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
14 oveq2 7153 . . . 4 ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) → (0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)))
1513, 14impbid1 226 . . 3 ((𝑈 ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
1615anbi1d 629 . 2 ((𝑈 ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Word 𝑇) → (((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈𝑖) = (𝑊𝑖)) ↔ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈𝑖) = (𝑊𝑖))))
174, 16bitrd 280 1 ((𝑈 ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈𝑖) = (𝑊𝑖))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135   Fn wfn 6343  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  0cn0 11885  ..^cfzo 13021  chash 13678  Word cword 13849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850
This theorem is referenced by:  eqs1  13954  swrdspsleq  14015  pfxeq  14046  pfxsuffeqwrdeq  14048  repswpfx  14135  2cshw  14163  pfx2  14297  wwlktovf1  14309  eqwrds3  14313  wlkeq  27342  wwlkseq  27596
  Copyright terms: Public domain W3C validator