MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqwrds3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqwrds3 13750
Description: A word is equal with a length 3 string iff it has length 3 and the same symbol at each position. (Contributed by AV, 12-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
eqwrds3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((#‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))

Proof of Theorem eqwrds3
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 s3cl 13670 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
2 eqwrd 13379 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((#‘𝑊) = (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))))
31, 2sylan2 490 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((#‘𝑊) = (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))))
4 s3len 13685 . . . . 5 (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
54eqeq2i 2663 . . . 4 ((#‘𝑊) = (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ↔ (#‘𝑊) = 3)
65a1i 11 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((#‘𝑊) = (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ↔ (#‘𝑊) = 3))
76anbi1d 741 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((#‘𝑊) = (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖)) ↔ ((#‘𝑊) = 3 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))))
8 oveq2 6698 . . . . . 6 ((#‘𝑊) = 3 → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^3))
9 fzo0to3tp 12594 . . . . . 6 (0..^3) = {0, 1, 2}
108, 9syl6eq 2701 . . . . 5 ((#‘𝑊) = 3 → (0..^(#‘𝑊)) = {0, 1, 2})
1110raleqdv 3174 . . . 4 ((#‘𝑊) = 3 → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖)))
12 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
13 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
1412, 13eqeq12d 2666 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → ((𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)))
15 s3fv0 13682 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
16153ad2ant1 1102 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
1716eqeq2d 2661 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ((𝑊‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ↔ (𝑊‘0) = 𝐴))
1814, 17sylan9bbr 737 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘0) = 𝐴))
19 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (𝑊𝑖) = (𝑊‘1))
20 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
2119, 20eqeq12d 2666 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → ((𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
22 s3fv1 13683 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
2322eqeq2d 2661 . . . . . . . 8 (𝐵𝑉 → ((𝑊‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ↔ (𝑊‘1) = 𝐵))
24233ad2ant2 1103 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ((𝑊‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ↔ (𝑊‘1) = 𝐵))
2521, 24sylan9bbr 737 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘1) = 𝐵))
26 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑖 = 2 → (𝑊𝑖) = (𝑊‘2))
27 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑖 = 2 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
2826, 27eqeq12d 2666 . . . . . . 7 (𝑖 = 2 → ((𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
29 s3fv2 13684 . . . . . . . . 9 (𝐶𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
3029eqeq2d 2661 . . . . . . . 8 (𝐶𝑉 → ((𝑊‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ↔ (𝑊‘2) = 𝐶))
31303ad2ant3 1104 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ((𝑊‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ↔ (𝑊‘2) = 𝐶))
3228, 31sylan9bbr 737 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝑖 = 2) → ((𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘2) = 𝐶))
33 0zd 11427 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 0 ∈ ℤ)
34 1zzd 11446 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 1 ∈ ℤ)
35 2z 11447 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
3635a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 2 ∈ ℤ)
3718, 25, 32, 33, 34, 36raltpd 4346 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (∀𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶)))
3837adantl 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (∀𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶)))
3911, 38sylan9bbr 737 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ (#‘𝑊) = 3) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶)))
4039pm5.32da 674 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((#‘𝑊) = 3 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖)) ↔ ((#‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))
413, 7, 403bitrd 294 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((#‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {ctp 4214  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975  2c2 11108  3c3 11109  cz 11415  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323  ⟨“cs3 13633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640
This theorem is referenced by:  wrdl3s3  13751  s3sndisj  13752  s3iunsndisj  13753  elwwlks2ons3im  26919  elwwlks2ons3OLD  26921  umgrwwlks2on  26923  elwwlks2  26933  elwspths2spth  26934
  Copyright terms: Public domain W3C validator