Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem11 30891
Description: Lemma for erdsze 30892. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.i 𝐼 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((# “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((# “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.t 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨(𝐼𝑛), (𝐽𝑛)⟩)
erdszelem.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
erdszelem.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
erdszelem.m (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
erdszelem11 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑛,𝑠,𝑥,𝑦,𝐹   𝑛,𝐼,𝑠,𝑥,𝑦   𝑛,𝐽,𝑠,𝑥,𝑦   𝑅,𝑠,𝑥,𝑦   𝑛,𝑁,𝑠,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑠,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑥,𝑦   𝑇,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem erdszelem11
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 erdsze.f . . . 4 (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
3 erdszelem.i . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((# “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
4 erdszelem.j . . . 4 𝐽 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((# “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
5 erdszelem.t . . . 4 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨(𝐼𝑛), (𝐽𝑛)⟩)
6 erdszelem.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
7 erdszelem.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
8 erdszelem.m . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < 𝑁)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8erdszelem10 30890 . . 3 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (1...𝑁)(¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))))
101adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
112adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
12 ltso 10062 . . . . . . 7 < Or ℝ
13 simprl 793 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → 𝑚 ∈ (1...𝑁))
146adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → 𝑅 ∈ ℕ)
15 simprr 795 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))
1610, 11, 3, 12, 13, 14, 15erdszelem7 30887 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))
1716expr 642 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
181adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
192adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
20 gtso 10063 . . . . . . 7 < Or ℝ
21 simprl 793 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → 𝑚 ∈ (1...𝑁))
227adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → 𝑆 ∈ ℕ)
23 simprr 795 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))
2418, 19, 4, 20, 21, 22, 23erdszelem7 30887 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))
2524expr 642 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
2617, 25orim12d 882 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (1...𝑁)) → ((¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))))
2726rexlimdva 3024 . . 3 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ (1...𝑁)(¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))))
289, 27mpd 15 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
29 r19.43 3085 . 2 (∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
3028, 29sylibr 224 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (#‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  {crab 2911  𝒫 cpw 4130  cop 4154   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ccnv 5073  cres 5076  cima 5077  1-1wf1 5844  cfv 5847   Isom wiso 5848  (class class class)co 6604  supcsup 8290  cr 9879  1c1 9881   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  cn 10964  ...cfz 12268  #chash 13057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058
This theorem is referenced by:  erdsze  30892
  Copyright terms: Public domain W3C validator