Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem2 32336
Description: Lemma for erdsze 32346. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
erdszelem1.1 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}
Assertion
Ref Expression
erdszelem2 ((♯ “ 𝑆) ∈ Fin ∧ (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐹   𝑦,𝑂
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem erdszelem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 13328 . . . . 5 (1...𝐴) ∈ Fin
2 pwfi 8807 . . . . 5 ((1...𝐴) ∈ Fin ↔ 𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin)
31, 2mpbi 231 . . . 4 𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin
4 erdszelem1.1 . . . . 5 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}
5 ssrab2 4053 . . . . 5 {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} ⊆ 𝒫 (1...𝐴)
64, 5eqsstri 3998 . . . 4 𝑆 ⊆ 𝒫 (1...𝐴)
7 ssfi 8726 . . . 4 ((𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 (1...𝐴)) → 𝑆 ∈ Fin)
83, 6, 7mp2an 688 . . 3 𝑆 ∈ Fin
9 hashf 13686 . . . . 5 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
10 ffun 6510 . . . . 5 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun ♯)
119, 10ax-mp 5 . . . 4 Fun ♯
12 ssv 3988 . . . . 5 𝑆 ⊆ V
139fdmi 6517 . . . . 5 dom ♯ = V
1412, 13sseqtrri 4001 . . . 4 𝑆 ⊆ dom ♯
15 fores 6593 . . . 4 ((Fun ♯ ∧ 𝑆 ⊆ dom ♯) → (♯ ↾ 𝑆):𝑆onto→(♯ “ 𝑆))
1611, 14, 15mp2an 688 . . 3 (♯ ↾ 𝑆):𝑆onto→(♯ “ 𝑆)
17 fofi 8798 . . 3 ((𝑆 ∈ Fin ∧ (♯ ↾ 𝑆):𝑆onto→(♯ “ 𝑆)) → (♯ “ 𝑆) ∈ Fin)
188, 16, 17mp2an 688 . 2 (♯ “ 𝑆) ∈ Fin
19 funimass4 6723 . . . 4 ((Fun ♯ ∧ 𝑆 ⊆ dom ♯) → ((♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ ↔ ∀𝑥𝑆 (♯‘𝑥) ∈ ℕ))
2011, 14, 19mp2an 688 . . 3 ((♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ ↔ ∀𝑥𝑆 (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
214erdszelem1 32335 . . . 4 (𝑥𝑆 ↔ (𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥))
22 ne0i 4297 . . . . . 6 (𝐴𝑥𝑥 ≠ ∅)
23223ad2ant3 1127 . . . . 5 ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
24 simp1 1128 . . . . . . 7 ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 ⊆ (1...𝐴))
25 ssfi 8726 . . . . . . 7 (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝐴)) → 𝑥 ∈ Fin)
261, 24, 25sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
27 hashnncl 13715 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin → ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
2826, 27syl 17 . . . . 5 ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥) → ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
2923, 28mpbird 258 . . . 4 ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
3021, 29sylbi 218 . . 3 (𝑥𝑆 → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
3120, 30mprgbir 3150 . 2 (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ
3218, 31pm3.2i 471 1 ((♯ “ 𝑆) ∈ Fin ∧ (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  {crab 3139  Vcvv 3492  cun 3931  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535  {csn 4557  dom cdm 5548  cres 5550  cima 5551  Fun wfun 6342  wf 6344  ontowfo 6346  cfv 6348   Isom wiso 6349  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  1c1 10526  +∞cpnf 10660   < clt 10663  cn 11626  0cn0 11885  ...cfz 12880  chash 13678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-hash 13679
This theorem is referenced by:  erdszelem5  32339  erdszelem6  32340  erdszelem7  32341  erdszelem8  32342
  Copyright terms: Public domain W3C validator