MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ere 14600
Description: Euler's constant e = 2.71828... is a real number. (Contributed by NM, 19-Mar-2005.) (Revised by Steve Rodriguez, 8-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
ere e ∈ ℝ

Proof of Theorem ere
StepHypRef Expression
1 df-e 14580 . 2 e = (exp‘1)
2 1re 9891 . . 3 1 ∈ ℝ
3 reefcl 14598 . . 3 (1 ∈ ℝ → (exp‘1) ∈ ℝ)
42, 3ax-mp 5 . 2 (exp‘1) ∈ ℝ
51, 4eqeltri 2679 1 e ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1975  cfv 5786  cr 9787  1c1 9789  expce 14573  eceu 14574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-rp 11661  df-ico 12004  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-seq 12615  df-exp 12674  df-fac 12874  df-hash 12931  df-shft 13597  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-limsup 13992  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-sum 14207  df-ef 14579  df-e 14580
This theorem is referenced by:  ege2le3  14601  eirrlem  14713  egt2lt3  14715  epos  14716  epr  14717  ene0  14718  ene1  14719  logdivlti  24083  logdivlt  24084  logdivle  24085  ecxp  24132  elogb  24221  logblog  24243  cxploglim2  24418  harmonicbnd3  24447  bposlem7  24728  bposlem9  24730  chebbnd1lem2  24872  chebbnd1lem3  24873  chebbnd1  24874  dchrvmasumlema  24902  logdivsum  24935  mulog2sumlem2  24937  selberg3lem1  24959  pntpbnd1a  24987  pntpbnd2  24989  pntlemb  24999  pntlemj  25005  pntlemk  25008  subfaclim  30226  subfacval3  30227  stirlinglem3  38769  stirlinglem4  38770  stirlinglem13  38779  stirlinglem15  38781  stirlingr  38783  etransclem18  38945  etransclem23  38950  etransclem46  38973  etransclem47  38974  etransclem48  38975  etransc  38976
  Copyright terms: Public domain W3C validator