MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ere 14813
Description: Euler's constant e = 2.71828... is a real number. (Contributed by NM, 19-Mar-2005.) (Revised by Steve Rodriguez, 8-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
ere e ∈ ℝ

Proof of Theorem ere
StepHypRef Expression
1 df-e 14793 . 2 e = (exp‘1)
2 1re 10036 . . 3 1 ∈ ℝ
3 reefcl 14811 . . 3 (1 ∈ ℝ → (exp‘1) ∈ ℝ)
42, 3ax-mp 5 . 2 (exp‘1) ∈ ℝ
51, 4eqeltri 2696 1 e ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1989  cfv 5886  cr 9932  1c1 9934  expce 14786  eceu 14787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011  ax-addf 10012  ax-mulf 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-pm 7857  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-inf 8346  df-oi 8412  df-card 8762  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-rp 11830  df-ico 12178  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-fl 12588  df-seq 12797  df-exp 12856  df-fac 13056  df-hash 13113  df-shft 13801  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-limsup 14196  df-clim 14213  df-rlim 14214  df-sum 14411  df-ef 14792  df-e 14793
This theorem is referenced by:  ege2le3  14814  eirrlem  14926  egt2lt3  14928  epos  14929  epr  14930  ene0  14931  ene1  14932  logdivlti  24360  logdivlt  24361  logdivle  24362  ecxp  24413  elogb  24502  logblog  24524  cxploglim2  24699  harmonicbnd3  24728  bposlem7  25009  bposlem9  25011  chebbnd1lem2  25153  chebbnd1lem3  25154  chebbnd1  25155  dchrvmasumlema  25183  logdivsum  25216  mulog2sumlem2  25218  selberg3lem1  25240  pntpbnd1a  25268  pntpbnd2  25270  pntlemb  25280  pntlemj  25286  pntlemk  25289  subfaclim  31155  subfacval3  31156  stirlinglem3  40062  stirlinglem4  40063  stirlinglem13  40072  stirlinglem15  40074  stirlingr  40076  etransclem18  40238  etransclem23  40243  etransclem46  40266  etransclem47  40267  etransclem48  40268  etransc  40269
  Copyright terms: Public domain W3C validator