Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngbase 36591
Description: The base set of the division ring on trace-preserving endomorphisms is the set of all trace-preserving endomorphisms (for a fiducial co-atom 𝑊). TODO: the .t hypothesis isn't used. (Also look at others.) (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
erngset.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erngset.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngset.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngset.d 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erng.c 𝐶 = (Base‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
erngbase ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → 𝐶 = 𝐸)

Proof of Theorem erngbase
Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erngset.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 erngset.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 erngset.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 erngset.d . . . 4 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4erngset 36590 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → 𝐷 = {⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑠𝑡))⟩})
65fveq2d 6356 . 2 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑠𝑡))⟩}))
7 erng.c . 2 𝐶 = (Base‘𝐷)
8 fvex 6362 . . . 4 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
93, 8eqeltri 2835 . . 3 𝐸 ∈ V
10 eqid 2760 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑠𝑡))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑠𝑡))⟩}
1110rngbase 16203 . . 3 (𝐸 ∈ V → 𝐸 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑠𝑡))⟩}))
129, 11ax-mp 5 . 2 𝐸 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑠𝑡))⟩})
136, 7, 123eqtr4g 2819 1 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → 𝐶 = 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  {ctp 4325  cop 4327  cmpt 4881  ccom 5270  cfv 6049  cmpt2 6815  ndxcnx 16056  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  .rcmulr 16144  LHypclh 35773  LTrncltrn 35890  TEndoctendo 36542  EDRingcedring 36543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-edring 36547
This theorem is referenced by:  erng1lem  36777  erngdvlem1  36778  erngdvlem2N  36779  erngdvlem3  36780  erngdvlem4  36781  erng0g  36784  erng1r  36785  dvabase  36797  dvhbase  36874
  Copyright terms: Public domain W3C validator